Неопределенный интеграл
Функция
называется первообразной
функции
на некотором интервале
,
если
для всех значений
.
Если
— первообразная
,
то очевидно, что бесконечное множество
всех первообразных
,
отличающихся только константой, также
будет первообразной
.
Множество всех первообразных функций
называется неопределенным
интегралом
от функции
и обозначается
.
При этом
называется подынтегральной
функцией,
— подынтегральным
выражением,
— переменной
интегрирования.
Согласно вышеприведенному:
,
где
— некоторая первообразная функции
;
— произвольная постоянная.
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1)
.
2)
.
3)
,
где
.
4)
.
5)
.
Таблица основных неопределенных интегралов:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
10)
|
11)
|
12)
|
13) |
14) |
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.
Пример.
.
Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:
Замена переменной.
Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией .
Сделаем
замену переменных, положив
,
где функция
удовлетворяет следующим двум условиям:
1)
непрерывная функция;
2) непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию.
Тогда
.
После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой.
Пример.
.
Решение.
.
Пример.
.
Решение.
.
Интегрирование по частям.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
,
где
и
— непрерывно дифференцируемые функции
от
.
С помощью этой формулы нахождение
интеграла
сводится к отысканию другого интеграла
.
Ее применение целесообразно в тех
случаях, когда последний интеграл либо
проще исходного, либо ему подобен.
Применяется формула в следующих случаях:
1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
Это
интегралы вида:
,
,
.
В
этом случае в качестве
выбирается многочлен
.
Пример.
.
Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве выбирается многочлен.
.
2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Это
интегралы вида:
,
,
,
,
.
В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.
Пример.
.
Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве выбирается логарифмическая функция.
.
Интегрирование рациональных дробей.
Пример.
.
Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая
систему, получим:
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Пример.
.
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:
.
Теперь вычислим интеграл:
.
Пример.
.
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая
систему, получим:
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Пример.
.
Решение.
.
б) Оба числа m, n - четные неотрицательные.
Применим формулы:
.
Пример.
.
Решение.
.
Интегрирование иррациональных выражений.
Пример.
.
Решение.
Сделаем замену
,
откуда
,
.
В результате получим:
.
Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:
.
Таким
образом,
,
где
.