Элементы математического анализа Пределы и непрерывность
Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.
Если
существуют конечные пределы
и
,
то
1)
;
2)
;
3)
( если
).
Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
ж)
.
Решение.
а) Если
,
то для нахождения предела частного двух
многочленов достаточно разделить и
числитель, и знаменатель дроби, стоящей
под знаком предела, на
,
где
- степень многочлена, стоящего в
знаменателе:
.
б)
Умножим числитель и знаменатель дроби
на
,
избавившись тем самым от иррациональности
в знаменателе. Итак,
.
в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:
(Так
как
при
).
г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:
.
Последнее
равенство вытекает из того, что в
квадратной скобке стоит
,
где
.
Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.
Например, задача ж имеет следующее решение:
.
Производная функции
Производная функция
от функции
в данной точке
определяется равенством
.
Таблица производных выглядит следующим образом:
1.
. 2.
.
3.
,
в частности
.
4.
, в частности
.
5.
.
9.
.
6.
.
10.
.
7.
.
11.
.
8.
.
12.
.
Основные правила дифференцирования
1.
2.
, в частности,
3.
, где
Задача. Найти производные следующих функций:
а)
;
б)
.
Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим
.
Используя правило
дифференцирования произведения и суммы
находим
=
=
.
б) Проведем предварительное преобразование функции:
=
.
Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим
=
=
.
Дифференцирование сложной функции
Если функция
дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
и
,
где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.
Задача. Найти производные следующих функций:
а)
; г)
;
б)
;
в)
;
Решение.
а) Функцию
представим как композицию функций
и
.
Используя таблицу производных, находим:
,
.
Тогда
.
б) Функцию
представим как композицию функций
,
и
.Найдем производные по промежуточным
аргументам:
,
и
.
Производную сложной
функции находим по формуле
.
Окончательно получим
=
.
Аналогично решается задача в:
=
=
=
.
г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида
,
находим производную:
.