Элементы векторной алгебры Векторы и линейные операции над ними

В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка и , имеющие равные длины и одно и то же направление, определяют (изображают) один и тот же вектор , и пишут .

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Если вектор изображается направленным отрезком , то вектор, изображаемый направленным отрезком , называется вектором, противоположным вектору и обозначается - .

Для векторов вводятся операции сложения и вычитания. При этом заметим, что знаки «+» и «», которые ставятся между векторами, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами. Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.

Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координаты вектора находятся как разности соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.

,

а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:

.

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами и , выполняются по следующим правилам:

1) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются: ;

2) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: .

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. .

Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны.

Итак, если  , то или .

Умножение векторов

Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:

1. имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2. перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3. направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов).

Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .

Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число.

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Пусть заданы два вектора и .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

.

Угол между векторами вычисляется по формуле

,

или в координатной форме .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

.

Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом:

.

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е.  .

Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:

.

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Задача. Определить внутренние углы c вершинами .

Решение. Найдем . Для этого надо найти векторы и . Зная векторы и , из формулы (2) получим

Легко видеть, что . Тогда

.

Отсюда .

Аналогично, находя предварительно, что , получим

.

Отсюда и .

Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

Решение. Найдем вначале площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. По определению векторного произведения . Но

.

Тогда .

Следовательно, .

Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами .

Решение. Найдем координаты векторов . Очевидно, что .

Тогда . Но

. .

Следовательно, .