Практическая работа №2

Тема: Вычисление простейших определенных интегралов.

Цель работы: Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Задание: Вычислить определенный интеграл

1.		4.
2.		5.
3.		6.

Задание: Вычислить определенный интеграл:

7.		10.
8.		11.
9.		12.

Задание: Вычислить определенный интеграл методом непосредственного интегрирования:

13.		16.
14.		17.
15.		18.

Задание: Вычислить интеграл способом подстановки (замены переменной):

19.		22.	3 dx
20.		23.
21.		24.

Задание: Вычислить интеграл методом интегрирования по частям:

25.		28.
26.		29.
27.		30.

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Интегрирование произведения (функции) на постоянную:

Интегрирование суммы функций:

Формула интегрирования по частям неопределенные интегралы:

Формула интегрирования по частям определенные интегралы:

Формула Ньютона-Лейбница определенные интегралы:

Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

2. Цель работы

3. Задание

4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение первообразной функции.

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Запишите геометрический смысл определенного интеграла.

5. Запишите основные формулы интегрирования.

Практическая работа №3

Тема: Расчет сопряжений с применением производной в инженерной графике.

Цель работы: Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Задание: Решить задачу на физический смысл производной:

1.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 9 с.	4.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну   (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, изме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?
2.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну   (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни   с.	5.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся прямо­ли­ней­но по закону   (где x —рас­сто­я­ние от точки отсче­та в метрах, t — время в секун­дах, измерен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в момент вре­ме­ни t = 3 с.
3.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся прямолиней­но по закону  (где x — рассто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла движе­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.	6.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по закону   (где x — рас­сто­я­ние от точки отсче­та в мет­рах, t — время в секун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с.

Задание: Решить задачу на геометрический смысл производной:

7.	Пря­мая   па­рал­лель­на касательной к гра­фи­ку функ­ции  . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.	10.	Пря­мая   яв­ля­ет­ся касатель­ной к гра­фи­ку функции  . Най­ди­те  .
8.	Пря­мая   яв­ля­ет­ся касательной к гра­фи­ку функции  . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.	11.	Пря­мая   яв­ля­ет­ся каса­тель­ной к гра­фи­ку функции  . Найдите  , учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.
9.	Пря­мая   яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции  . Най­ди­те b, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.	12.	Пря­мая   яв­ля­ет­ся касатель­ной к гра­фи­ку функции  . Най­ди­те  .

Задание: Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции:

13.	у = 6х- в его точке с абсциссой равной -1.	16.	в его точке с абсциссой равной 4.
14.	у = 4-х2 в его точке с абсциссой равной -6.	17.	f(x)=(x−6)(x2+6x+36) в его точке с абсциссой равной 1.
15.	у = - в его точке с абсциссой равной -2.	18.	его точке с абсциссой равной 3.

Задание: На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.:

19.		22.
20.		23.
21.		24.

Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

25.	f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2; [– 2; 2]	28.	f (x) = 9 – 6x2 – x3 [– 4; 2];
26.	y = 9x + 3x2 – x3 ; [– 2; 2]	29.	y = 4 – 9х + 3x2 + x3 [– 2; 2]
27.	y = 5 + x4 – 8x [– 3 ; 2]	30.	f(х) =2х3 + 3х2 – 36х [– 4; 3]

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Геометрический смысл производной:

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной:

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1.Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции: Если на промежутке производная функции >0, то функция возрастает на этом  промежутке. Если на промежутке производная функции <0, то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции. В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-". В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".

6. Находим значение функции в концах отрезка, затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

2. Цель работы

3. Задание

4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Запишите алгоритм исследования графика функции.

2. Дайте определение касательной к графику функции.

3. Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

4. Запишите алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы.

5. Запишите алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a; в].