1.2.8. Границя при X → 0. (1-а надзвичайна границя).

Якщо x є радіанною мірою кута, тоді .

В колі, радіус якого r, викреслимо центральний кут x (мал.5),

Мал.5

який відповідає умові .

Побудова каже, що площа Δ ОАС < площі сектора ОАС < площі Δ ОВС.

Т.як. площа Δ ОАС = ,

площа сектора ОАС = ,

площа Δ ОВС = ,

тоді .

Розіб'ємо нерівність на

або

Т.як. , тоді т.як. , тоді

.

Приклад

Знайти границю

Надана функція в граничній точці невизначена (випадок ). Перетворимо функцію так, щоб використати 1-у надзвичайну границю (2.5.1).

.

Приклад

Знайти границю .

Щоб використати 1-у надзвичайну границю , зробимо зміну змінної : 1 – х = t. Тоді при х → 1 буде t → 0 та

.

1.2.9. Число е. (2-га надзвичайна границя ).

Розглянемо графік експонентної функції (мал..6)

Мал.6

Із побудови витікає , що . Коли х стримиться до нуля, хорда АВ буде повертатися навколо точки А та наприкінці займе положення дотичної в точці А до графіка функції .

.

Застосовуя властивості логарифмічної функції , це вираження можливо записати :

або .

Отож:

Якщо змінімо в цьому виразі ,отримаємо .

Випадок , коли при х → х_o або х → ∞ функція f(x) набуває вид степеню, основу якої стримиться до одиниці , а показник – до нескінченності (випадок I^∞).

В даному випадку для знаходження границі функції використовується 2-а надзвичайна границя :

.

Приклад.

Знайти границі 1. .

При вказаній зміні аргументу функція набуває виду степеню, основа якої стримиться до одиниці , а показник – до нескінченності . Далі перетворимо функцію так, щоб використати 2-у надзвичайну границю.

.

2. .

Положим

При x → ∞ t → 0

.

1.2.10. Неперервність функції в точці.

Визначення . Функція f(x) є неперервною в точці x = x_о, якщо вона відповідає 3 умовам:

1. Вона визначена в цій точці .

2. Вона має обмежену границю в цій точці.

3. Границя функції дорівнює значенню функції в цій точці:

.

Приклад.

Дослідити на неперервність в точці x = 0 надані функції :

a) ; б) ; в) ; г) .

а) В точці х = 0 функція не є неперервною , т.як. не виконується перша умова неперервності – існування f(x).

б) В точці х = 0 не виконується друга умова – відсутність обмеженої границі (існують односторонні границі – ліва границя , права границя , але вони не однакові ).

Функція не є неперервною (мал.7).

Мал.7

Мал.8

в) В цій функції (мал..8) дві умови неперервності виконані - існує та обмежена границя , але не виконується третя умова .

г) В точці х = 0 функція у = х² неперервна , т.я. виконані всі три умови неперервності .

1.2.11. Властивості функції, неперервної на замкнутому інтервалі .

Визначення . Функція зветься неперервною на замкнутому інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Якщо функція f(x) неперервна на замкнутому інтервалі [а,b], то вона має наступні властивості .

1. На цьому інтервалі вона має найменш одне, найбільше, та одне найменше значення (мал.9).

Мал.9

2. На цьому інтервалі, найменш, один раз вона дорівнює нулю, якщо на кінцях інтервалу вона має значення різних знаків (мал.10).

Мал.10

3. Вона обмежена на цьому інтервалі (мал.11).

М ал.11.