Тема 1.2. Границі функції. Неперервність функції

1.2.1. Границя функції f(X) якщо х стримиться до хо(х → хо).

Нехай змінна х безмірно наближається до х_о. Це означає, що х приймає значення як завгодно близьке до х_о, але не рівне цьому числу. Можливі наступні варіанти наближення аргументу х до точки х_о.

1. х наближається до х_о, залишаясь більшим ніж х_о, т.е. зі сторони більших значень х, що записується так : х → х_о +0.

2. х наближається до х_о зі сторони менших значень , т.е. залишаясь меншим ніж х_о, що записується: х → х_о – 0.

3. х наближається до х_о, приймая то більші то менші ніж х_о значення.

Якщо значення функції f(x) наближається до якогось числа А, тоді кажуть, що число А є границею функції f(x) прі х → х_о.

Визначення. Число А зветься границею функції f(x), якщо для усіх значень х як завгодно мало відрізняющихся від х_о, відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А .

Записується це так : .

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі функції в точці (мал. 1).

Мал.1

Для кожного ε > 0, як би мало воно не було , знайдеться δ > 0 таке, що для кожного х ≠ х_о, задовольняючих умові х_о – δ < х < х_о + δ, має місце нерівність А – ε < f(x) < А + ε.

Визначення границі функції не потребує , щоб функція була визначена в самій граничній точці. Достатньо того, щоб вона була визначена біля х_о.

Приклад 1. Розглянемо функцію . Функція визначена в всіх точках, окрім х = ½. Беремо х = 6. . При приближені х до 6 (справа або слева ) 4х² – 1 стримиться до 143, а знаменник до 11. Уся дріб стримиться до .

Число 13 (рівне значенню функції при х = 6) є границею функції при

х → 6:

Пример 2. Розглянемо ту ж функцію , але беремо х = ½. Фцнкція в цій точці не визначена . Але границя функції при х → ½ існує , він дорівнює 2. Дійсно, не визначено тільки при х = ½, але при приближені х → ½ воно визначено і дорівнює 2х + 1. Це можно довести :

Це вираження стримиться до числа 2, тому .

Графік функції є пряма uv (мал.. 2), без точки А(½, 2). Графік функції у = 2х+ 1 є та ж пряма uv, але зі всіма точками .

М

v

ал. 2

1.2.2. Ліва та права границя функції .

Якщо значення функції наближається до числа А₁, коли х стримиться до х_о зі сторони менших значень , то число A₁ зветься лівою границею функції f(x) або лівостороннєю границею, записується це так :

Якщо f(x) наближається до А₂ коли х → х_о зі сторони більших значень , тоді А₂ зветься правою границею (мал.3), записується це так :

Мал..3.

Ліва та права границя функції зветься одностороннєю границею. Якщо функція f(x) Визначена на (а, b), за виключенням, бути може, точки , то для існування границі

необхідно та достатньо, щоб права та ліва границя функції f(x) в точці x_о існували та були однакові

В загальному випадку ліва та права границя функції в точці x_о може існувати, але не бути однаковими .