1.2.3. Границя функції при X→ ∞.

Нехай x необмежено зростає . Необмеженість зростання x означає , що x приймає значення, більше ніж яке завгодно задане додатне число N, яким би великим воно не було . Умовно це зветься так : x → + ∞.

Якщо аргумент стає менш якого завгодно від’ємного заданого числа, то

x → -∞.

Аргумент функції, який змінюється таким образом, зветься нескінченно великим, або нескінченно малим аргументом.

Може бути, що при нескінченно великому аргументі функція наближується до якогось числа А.

Визначення. Число А зветься границею функції f(x) при x → + ∞., якщо для , яким би великим воно не було, значення функції як завгодно мало відрізняється від числа А.

Графічне зображення на мал.4.

Мал.4.

Аналогично дається поняття .

Якщо аргумент стримиться до нескінченності, то записують .

1.2.4. Правила граничного переходу.

Правила застосовуються для функцій, які мають обмежені границі при x → x_о або x → ∞.

1. Якщо функція має границю , то він один.

2. Границя постійної дорівнює собі.

3. Границя алгебраїчної суми обмеженого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь цих функцій.

4. Границя добутку обмеженого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій.

5. Границя частки функцій дорівнює частому границь функцій, якщо границя знаменника не дорівнює нулю.

Зауваження 1. Якщо границя делителя дорівнює нулю, а границя делимого не дорівнює нулю, то частка має нескінченну границю .

Зауваження 2. В разі, коли границя делимого и делителя дорівнюють нулю, вираз невизначен.

В цьому разі знаходження границі потребує спеціального розгляду.

6. Коли значення функції f(x) знаходяться між значеннями функцій F(x) та Ф(х), які стримляться до одної і той же границі А, тоді f(x) має границю, яка також дорівнює А.

1.2.7.Обчислення границь .

Обчислення границь виконується на основі правил граничного переходу. (п.2.4.).

Границя функції не залежить від того, визначена вона в граничній точці або ні, але на практиці обчислення границь елементарних функцій це має значення.

а) Якщо функція є елементарною та значення аргументу належить її області визначення, тоді обчислення границі функції набуває форму простої підстановки граничного значення аргументу, або границею функції f(x) при x → x_о, яке входить в область її визначення, дорівнює приватному значенню функції при х = х_о, т.е.

Приклади.

Знайти границю функції .

1. f(x) = х³ – 5х² + 2х + 4 при х → – 3.

Надана функція є елементарною , вона визначена в граничній точці, тому знайдемо границю як приватне значення в граничній точці.

.

при х → 6

б) якщо аргумент стримиться до безконечності або до числа, яке не належить області визначення функції або, якщо при підстановці граничного значення аргументу в функцію буде виходити невизначеність видів , , , , , тоді в кожному із наведених случав знаходження границі функції потребує спеціальних дослідів. Розглянемо приклади розкриття наданих невизначеностей.

І. Случай, коли при х → х_о або х → ∞ функція f(x) є відношенням нескінченно малих величин (невизначеність виду ).

Приклади .

Знайти границі.

1. .

Насамперед впевнимось, що границя функції неможна знайти безпосередньою підстановкою,що при вказаним значені аргументу вона є відношенням нескінченно малих величин (випадок ), далі робимо перетворення , так щоб скоротити дріб на множник, який стримиться до 0. В даному випадку розкладаємо знаменник на множники та скорочуємо дріб на х – 2.

Тут немає скорочення на нуль, що ніколи недопустимо . Згідно з визначенням границі, аргумент функції х стримиться до свого граничного значення 2, але ніколи з ним не співпадає

Тому х – 2 ≠ 0.

Взагалі, якщо треба знайти границю функції при х → х_о, тоді необхідно запам'ятати , що х не приймає значення х_о, т.щ. х ≠ х_о та х – х_о ≠ 0.

2.

Розкладаємо чисельник та знаменник дробу на множники, як квадратні тричлени, за формулою :

,

де х₁ и х₂ – корні тричлена .Далі скорочуємо дріб на х – 5:

.

Взагалі, якщо знаходиться границя дробу, чисельник та знаменник якої багаточлени , які перетворюються в нуль в граничній точці х = х_о, то таку дріб завжди можна скоротити на х – х_о.

3.

При вказаній зміні аргументу надана функція невизначена (випадок ). Знищимо ірраціональність помножив обидві частини дробу на , далі скоротимо дріб на х:

.

4.

Помножимо обидві частини дробу на та скоротимо дріб на 4 – х.

Взагалі, якщо треба знайти границю дробу, яка має ірраціональний вираз, в випадку, коли границі обох частин дробу дорівнюють нулю , треба ірраціональність перенести із

чисельника в знаменник або навпаки, зробити необхідні перетворення та знайти границю.

II. Випадок, коли при х → х_o або х → ∞ функція f(x) набуває відношення нескінченно великих величин (випадок ).

Приклад.

1.

Підставляємо в функцію граничне значення аргументу та бачимо, що маємо невизначеність виду .

Розділимо обидві частини дробу на змінну в найбільш великому степеню ( х²).

.

При х → ∞ величини та є нескінченно малими .

2. .

ІІІ. Випадок, коли при х → х_о або х → ∞ функція f(x) набуває виду добутку нескінченно малої величини на нескінченно великої (випадок 0 ∙ ∞). Цей випадок знаходження границі функції приводиться шляхом перетворення функції к одному з двох розглянутих випадків, т.щ. к випадку або к випадку .

Приклади.

Знайти границю .

1. .

При вказаної зміні аргументу маємо невизначеність виду 0 ∙ ∞.

Перетворимо функції до виду дробу, обидві частини якої стримиться до нулю або до нескінченості .

;

2.

Покладемо arcctg x = α, тоді x = ctg α.

.

IV. Випадок, коли при х → х_o або х → ∞ функція f(x) набуває вид різниці двох додатних нескінченно великих величин (випадок ∞ – ∞).

Цей випадок знаходження границі можна привести до випадку або випадку шляхом перетворення функції до виду дробу .

Приклади.

Знайти границі .

1. .

При вказаній поведінці аргументу функція набуває вид різниці двох нескінченно великих величин (випадок ∞ – ∞).

Приведемо функцію до загального знаменника та набуту дріб скоротимо на х – 2.

.

2. .

Розглянемо надану функцію як дріб зі знаменником 1, знищуємо ірраціональність в числітелі і далі розділимо обидві частини дробу на х:

.