1.1.4. Парність та непарністьь.

Функція y = f(x) наздається парною, коли:

а) область визначення функції симетрична відносно О числовой оси (т.щ. коли точка х_о належить області визначення функції, тоді і точка – х_о також належить області визначення функції);

б) для кожного значення незалежної змінної, належаній області визначення функції, виконується рівняння:

f(x) = f(-x).

Функція y = f(x) наздається непарною, коли:

а) область визначення функції симетрична відносно О числовой оси (т.щ. коли точка х_о належить області визначення функції, тоді і точка – х_о також належить області визначення функції);

б) для кожного значення незалежної змінної, належаній області визначення функції, виконується рівняння:

f(–x) =– f(x).

Графік парної функції симетричне відносно ординат, а графік непарної функції симетричне відносно початку координат.

Якщо не виконується жодне з наведених рівнянь, тоді функція не є парною і не є непарною, вона є функцією загального вигляду.

Приклад.

1. .

Функція задовольняє вимогам парності. Дійсно область визначення симетрична відносно початку координат та .

2. ; область визначення функції D(f) = ( – ∞, 0) U (0, + ∞) симетрична відносно начала координатсимметрична относительно початку координат та .

Функція непарна.

3. функція не є парною, але не є і непарною, т.я. її область визначення не симетрична відносно точки О (в точці х=1 функція визначена, але в точці х = –1 не визначена).

4. Область визначення функції

D(f) = (– ∞, 0) U (0, + ∞) симетрична відносно початку координат, але , це зазначає, що f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ – f(x).

Функія не є перною і не є непарною.

1.1.5. Періодичність.

Функція f(x) зветься періодичною , якщо вона задовольняє умові:

f(x) = f(x ± kT),

де Т – період функції – найменше додатне число від додавання (віднімання) якого до аргументу значення функції не змінюється, k – ціле число, відмінне від нуля .

Всі тригонометричні функції періодичні.

1.1.6. Монотонність .

Нехай функція y = f(x) визначена в деякому інтервалі (а, в).

Функція зветься зростаючій (спадаючій) на інтервалі (а, в), якщо більшому значенню аргументу х₂ > х₁ відповідає більше f(x₂) > f(x₁) (менше f(x₂) < f(x₁)) значення функції .

Якщо із нерівності х₂ > х₁ витікає нерівність f(x₂) ≥ f(x₁), функція зветься не зростаючей.

Якщо із нерівності х₂ > х₁ витікає нерівність f(x₂) ≤ f(x₁), функція зветься не спадаючей.

Зростаючі, спадаючі, не зростаючі, не спадаючі функції звуться монотонними.

1.1.7. Обмежені функції.

Функція y = f(x) зветься обмеженою зверху, якщо існує таке число М, що для всіх значень аргументу із області визначення функції виконується нерівність f(x) < М, та обмеженою знизу, якщо існує таке число m, що для всіх значень аргументу із області визначень функції виконується нерівність f(x) > m. Функція, обмежена зверху та знизу, зветься обмеженою.

1.1.8. Перетворення графіків функцій.

Якщо функція надана явно, тоді в залежності від зміни ії формули, та знаючи як виглядає графік елементарної функції , можна побудувати графік наданої функції.

	Вигляд функції	Перетворення графіка функції	Приклад
1	y= -f(x)	Симетрія відносно осі ОХ.	у у=х2 х у= -х2
2	y= f(-x)	Симетрія відносно осі ОУ	у х
3	y= f(x)+b	Паралельний перенос вздовж осі ОУ на b одиниць.	у х
4	y= f(x+a)	Паралельний перенос вздовж осі ОХ на –а одиниць.	у х
5	y=|f(x) |	Частина графіка в верхній полуплощині та на осі ОХ залишається без змін, а замість частини графіка в нижній полу площині зображується графік, симетричний частині графіка в верхній полуплощині відносно осі ОХ.	у х
6	y=f(|x|)	Частина графіка для х 0 симетрично відображується відносно осі ОУ.	у х
7	y=kf(x) (k>0)	Якщо k>1 розтяження від точки (0;0) вздовж осі ОУ в k разів; якщо 0<k<1 сжатіє до точки (0;0) вздовж осі ОУ в разів.	у х
8	y=f(kx) (k>0)	Якщо k>1 сжим до точки (0;0) вздовж осі ОХ в k разів; якщо 0<k<1 розтяження від точки (0;0) вздовж осі ОХ в разів.	у х