3.1.11. Похідні і диференціали вищих порядків.

Хай . Тоді похідна називається похідною першого порядку. Вона у свою чергу є функцією х і тому від неї можна узяти похідну, яка називається похідною другого порядку від вихідної функції

Аналогічно визначається похідна третього порядку

Подальші похідні позначаються , і далі.

3.1.12. Правило Лопиталя.

Хай функції і при або обидві прагнуть до нуля або нескінченності. Якщо стосунки їх похідних має межу, то відношення самих функцій має межу, рівну межі відношення їх похідних.

Приклад .

а) ; б) ;

а) .

Тут після вживання правила Лопіталя похідні чисельника і знаменника у свою чергу прагнуть до нуля. Застосовуючи правило Лопіталя повторно, а у разі потреби і далі, .

б)

.

Тема 3.2 Застосування похідної.

1. Поведінка функції в інтервалі.

Одне з найважливіших призначень диференціального числення – застосування його до дослідження функцій, тобто до характеристики поведінки функції при зміні незалежній змінній. Це дослідження засноване на зв'язку, що існує між властивостями функції і її похідних (перш за все її першою похідною).

3.2.2. Достатня ознака монотонності

1. Якщо похідна від функції усюди в інтервалі додатня, то функція в цьому інтервалі зростає.

2. Якщо похідна від функції усюди в інтервалі від'ємна , то функція в цьому інтервалі убуває.

3. Якщо похідна від функції усюди в інтервалі дорівнює нулю, то функція в цьому інтервалі не змінюється (є константа).

Ця пропозиція формулює простий і зручну аналітичну ознаку монотонності функції в інтервалі.

Мал.1

Якщо рухлива точка М (x,y) при русі по графіку функції зліва направо, тобто при зростанні абсциси, піднімається, то дотична до графіка утворює з віссю ОХ гострий кут, тангенс якого додатний ; якщо ж точка М(x,y) опускається, то дотична до утворює з віссю ОХ тупий кут, тангенс якого від'ємний.

Слід підкреслити, що похідна монотонної функції в окремих крапках перетворюється на нуль. Так, наприклад, функція (мал. 2) зростає на всій осі ОХ, але її похідна перетворюється на нуль в точці х = 0, будучи позитивною у всіх останніх точках.

Мал. 2.

Геометричний сенс цього факту такий: дотична до графіка монотонної функції в окремих крапках може бути паралельна осі ОХ.

Таким чином, в інтервалі монотонності функції знак її похідної не може змінитися на зворотний.

Приклад

Знайти інтервали монотонності функції .

Знайдемо похідну

Визначимо знаки похідної за допомогою інтервалів.

Функція спадає на (-∞, -1) та (0,1) зростає на (-1,0) та (1,+∞)

3.2.3. Екстремуми функції.

Особливу роль в дослідженні функцій грають значення х, що відокремлюють інтервал зростання від інтервалу убування або інтервал убування від інтервалу зростання (мал. 3).

Мал.3.

У цих точках функція міняє характер своєї зміни; під час переходу незалежної змінної через ці крапки функція з тієї, що зростає стає такою, що убуває (графік І на мал.3) або навпаки, з тієї, що убуває – що зростає (графік ІІ на мал. 3). Якщо має місце перший випадок (точка х΄ на мал. 3 відокремлює інтервал зростання від інтервалу убування), то існує така околиця точки х΄, що значення є найбільшим значенням функції в цій околиці; якщо має місце другий випадок, (точка х˝ на мал. 3 відокремлює інтервал убування від інтервалу зростання), то існує така околиця точки х˝ , що значення є найменшим значенням функції в цій околиці.

Визначення. Точка х_о називається точкою максимуму функції , якщо є найбільше значення функції в деякій околиці точки х_о ;

аналогічно

Точка х_о називається точкою мінімуму, якщо є найменше значення функції в деякій околиці точки х_о .

Точки максимуму і мінімуму об'єднуються загальною назвою точки екстремуму. Функція на даному інтервалі може мати декілька екстремумів, причому який-небудь мінімум функції може виявитися більше якого-небудь максимуму (мал.4).

Мал.4