Метод трапеций

Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции:

Для этого отрезок [a; b] разобьем на n равных отрезков точками: а=x₀,x₁,...,x_n= b.

На каждом отрезке разбиения функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом Ньютона первой степени, т.е. кривая y=f(x) на каждом участке заменяется прямой, проходящей через две точки. В этом случае площадь элементарной трапеции на отрезке [x_i; x_i+1] заменяется площадью прямоугольной трапеции

П лощадь криволинейной трапеции на отрезке [x₀; x₁]:

f(x)≈_i(x)≈y_{0 +} ;

Аналогично находим площади на других отрезках. Суммируя эти площади получим:

,

(3)- формула трапеций. Она дает хороший результат при большом n.

Пример. Вычислить определенный интеграл методом трапеций для n=10. Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение: при разбиении отрезка на 10 равных частей получаем а = 0, b = 5 , - шаг разбиения, - узлы разбиения.

.; f(x₀) =

; f(x₁) =

; f(x₂) =

; f(x₃) =

; f(x₄) =

; f(x₅) =

; f(x₆) =

; f(x₇) =

; f(x₈) =

; f(x₉) =

; f(x₁₀) =

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
у	7	5,6	3,5	2,1538	1,4	0,9655	0,7	0,5283	0,4117	0,3294	0,2692

По формуле (3):

.

Для того чтобы вычислить относительную погрешность вычислений по формуле Ньютона-Лейбница находим точное значение интеграла:

Вычислим погрешность: ,

Задание для самостоятельного решения

Вычислить интеграл с помощью

1. Методом прямоугольника 2) Методом трапеций. Найдите погрешность. Сравните полученные результаты.

Вариант 1. А) , разделив отрезок [2;6] на пять равных частей.

Б) с шагом h= 0,1

Вариант 2. А) , разделив отрезок [0;3] на пять равных частей.

Б) с шагом h= 0,1

Контрольные вопросы.

1. В каких случаях используется численное интегрирование функции?

2. В чем заключается общая задача численного интегрирования функции?

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Опишите метод прямоугольников.

5. Опишите метод трапеций.

Литература

Основные источники:

Элементы высшей математики, Григорьев В.П., Академия . 2014 г.

Дополнительные источники:

17. Пакет прикладных программ по курсу математики OC Windows, XP – сервисная программа.

18. MS Office, XP – сервисная программа

Интернет- ресурсы:

1. www.school.edu.ru/dok edu.

2. www.edu.ru/db/portal/sred/

3. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

4. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

http://school.msu.ru

5. Образовательный математический сайт Exponenta.m

http ://www. exponenta.ru

6.Общероссийский математический портал Math-Net.Ru http://www.mathnet.ru

7. Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте

http ://www. alhnath.ru