Лекція 6 Перевірка гіпотез про параметри нормального розподілу

6.1 Перевірка гіпотез про параметри нормального розподілу.

6.2 Гіпотези про дисперсії.

6.2.1 Порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною дисперсією нормально розподіленої генеральної сукупності.

6.2.2 Порівняння дисперсій двох нормально розподілених генеральних сукупностей.

6.2.3 Порівняння дисперсій декількох нормально розподілених генеральних сукупностей

а) Критерій Бартлетта (вибірки різних об’ємів)

б) Критерій Кочрена ( вибірки однакових об’ємів)

Нормальний закон розподілу визначається двома своїми параметрами : математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням . Тому відносно цих параметрів формулюють гіотези, які називають параметричними.

Перевіряють параметричні гіпотези за загальним правилом перевірки гіпотез. При цьому за статистики (їх називають критеріями значущості) використовують випадкові величини які мають нормальний розподіл або розподіли , Стьюдента, Фішера.

Нульові параметричні гіпотези записують у вигляді рівностей відносно одного або обох параметрів нормального розподілу.

Наприклад :

1) якщо за вибіркою оцінюється генеральна сукупність , яка має нормальний розподіл з невідомими парметрами та , то можна сформулювати такі нульові параметричні гіпотези:

(6.1)

2) якщо за вибірками оцінюється дві генеральні сукупності та , кожна з яких має нормальний розподіл з невідомими параметрами відповідно , , , , то можна сформулювати такі нульові параметричні гіпотези :

. (6.2)

Для кожної з нульових гіпотез формулюється одна з можливих альтернативних гіпотез залежно від умов задачі, хоча одній нульовій гіпотезі можна протиставити декілька різних альтернативних гіпотез.

Наприклад, альтернетивними для перших гіпотез з (6.1) і (6.2) можуть бути відповідно :

1) , або , або , або ( , ).

2) або , або .

6.2 Гіпотези про дисперсії

6.2.1 Порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною дисперсією нормально розподіленої генеральної сукупності

Припустимо, що випадкова величина розподілена нормально, причому дисперсія її невідома, але є підстави припустити, що вона дорівнює гіпотетичному значенню . На практиці значення встановлюється із досвіду або теоретично.

Нехай з генеральної сукупності зроблена вибірка з назалежних спостережень ( досить велике ). Завдання полягає в тому, щоб перевірити гіпотезу .

Оскільки виправлена вибіркова дисперсія є незміщенною оцінкою генеральної дисперсії, то нульову гіпотезу можна сформулювати так:

,

тобто потрібно визначити значно чи ні відрізняються виправлена вибіркова і гіпотетична дисперсії.

На практиці сформульована гіпотеза перевіряється, якщо потрібно перевірити точність приладів, інструментів, методів досліджень, або стійкість технологій.

За критерій перевірки нульової гіпотези беруть випадкову величину

, (6.1)

яка при справедливій (вірній) нульовій гіпотезі має розподіл з ступенями вільності (див. лекцію 23).

Критична область визначається видом альтернативної гіпотези.

а) Альтернативна гіпотеза .

В цьому випадку правосторонню критичну область будують так, щоб їй належали всі значення критерію , які задовольняють умову ( рис.6.1),

де значення знаходять з умови

Рис.6.1 Рис.6.2

(6.2)

На практиці для заданого рівняння значущості критичну точку знаходять з таблиці критичних точок розподілу (таблиця №7 додатку 2) за числом ступенів вільності . Отже, правостороння критична область визначається нерівністю , а область прийому гіпотези – нерівністю .

б). Альтернативна гіпотеза .

Лівосторонню критичну область ( рис. 6.2 ) визначають з умови

. (6.3)

Але, оскільки в таблиці критичних точок розподілу вказано тільки “праві” критичні точки, то для знаходження критичної точки в цьому випадку виходять з того, що

,

а звідси, з врахуванням (6.3)

, (6.4)

Тому “ліву” критичну точку в (6.3) можна шукати як праву в (6.4).

Отже, лівостороння критична область при альтернативній гіпотезі визначається критичною точкою .

Тоді область прийому нульової гіпотези визначається нерівністю .

в). Альтернативна гіпотеза .

Двосторонню критичну область ( рис.6.3) будують з умови

, (6.5)

Рис.6.3

Найбільшу потужність критерій має у випадку, коли ймовірності попадання в кожний з двох інтервалів критичної області рівні, тобто

, (6.6)

Оскільки розподіл несиметричний відносно нуля, то критичні точки (ліву і праву) знаходять з умови (6) за схемою пунктів а) і б). Тобто

. (6.7)

Отже, при альтернативній гіпотезі критична область

визначається нерівностями і . Тоді область прийому нульової гіпотези є .

Сформулюємо практичне правило перевірки нулової гіпотези

Нехай за вибіркою об’єму обчислена виправлена вибіркова дисперсія .

При заданому рівні значущості перевірку гіпотези про рівність невідомої генеральної дисперсії гіпотетичному значенню проводиться за схемою :

1. Обчислюють спостережуване значення критерію .