Единицы измерения энергии и мощности

Для измерения количества энергии употребляется специальная единица — джоуль (Дж). Тысяча джоулей составля­ют один килоджоуль (кДж). Обыкновенное яблоко (около 100 г) содержит 150 кДж химической энергии. В 100 г шоколада содержится 2335 кДж. Мощность —  это  количество энергии, используемой за единицу времени. Мощность измеряется в ваттах (Вт). Один ватт равен одному джоулю за секунду. Чем больше энергии за определенное время произ­водит тот или иной механизм, тем боль­ше его мощность. Лампочка мощностью в 60 Вт использует 60 Дж в секунду, а лампочка в 100 Вт использует за секунду 100 Дж.  

Коэффициент полезного действия

Любой механизм потребляет энергию од­ного вида (например, электрическую) и превращает ее в энергию другого вида. Коэффициент полезного действия (КПД) механизма тем больше, чем большая часть потребляемой энергии превращается в необходимую энергию. КПД почти всех автомобилей невысок. В среднем автомобиль преобразует лишь 15% химической энергии бензина в кинетическую энергию. Вся остальная энергия превращается в тепло. КПД флуоресцентных ламп выше КПД обычных электрических лампочек, поскольку во флуоресцентных лампах больше электричества превращается в свет и меньше уходит на производство тепла.

Консервативные силы

Силы будут консервативными при условии когда в системе нет перехода механического движения в другие формы движения материи, или превращения других форм движения в механический.

К консервативным силам относят силы притяжения, силы упругости и силы электростатического взаимодействия консервати́вные си́лы (потенциальные силы) — это силы, работа которых не зависит от вида траектории, точки приложения этих сил и закона их движения, и определяется только начальным и конечным положением этой точки^[1]. Равносильным определением является и следующее: консервативные силы — это такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0.

В теоретической физике выделяют только четыре типа сил, каждая из которых является консервативной (см. Фундаментальные взаимодействия). В школьной программе по физике силы разделяют на консервативные и неконсервативные. Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости, силакулоновского (электростатического) взаимодействия. Примером неконсервативной силы является сила трения.

Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется. Для консервативных сил выполняются следующие равенства:

 

Таким образом, потенциальная сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Потенциальное поле

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).

В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работыпри мгновенном перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. Этот контур не обязан быть траекторией частицы, движущейся под действием только данных сил. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по мгновенному перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являютсястатическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.

В некоторых источниках потенциальным полем сил считается только поле с потенциалом, не зависящим от времени. Это связано с тем, что потенциал для сил, зависящий от времени, вообще говоря, не является потенциальной энергией тела, движущегося под действием этих сил. Поскольку силы совершают работу не одномоментно, работа сил над телом будет зависеть от его траектории и от скорости прохождения по ней. В этих условиях сама потенциальная энергия не определена, так как по определению должна зависеть только от положения тела, но не от пути. Тем не менее, и для этого случая потенциал для сил может существовать, и может входить в уравнения движения так же, как и потенциальная энергия для тех случаев, когда она существует.

Потенциальная энергия

Если кинетическая энергия - это энергия движения,

то потенциальная энергия - это энергия положения

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h над поверхностью Земли: U = mgh

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела. Такие силы называются консервативными. Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести   Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения   на ось OY, направленную вертикально вверх: 

ΔA = Fт Δs cos α = –mgΔs y,

где F_т = F_тy = –mg – проекция силы тяжести, Δs_y – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δs_y > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h₁, в точку, расположенную на высоте h₂ от начала координатной оси OY, то сила тяжести совершила работу 

A = –mg (h2 – h1) = –(mgh2 – mgh1).

Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh, взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести 

Eр = mgh.

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

A = –(Eр2 – Eр1).

Потенциальная энергия E_р зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔE_р = E_р2 – E_р1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x₁, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x₂ сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком: 

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

Механическая энергия . Закон сохран и перемещ.

Закон сохранения энергии гласит: энергия не берется из ниоткуда и не исчезает бесследно, она превращается из одного вида в другой.

Сумма потенциальной и кинетической энергий образуют механическую энергию

Если работа силы при перемещении объекта определяется только начальной и конечной координатами тела и не зависит от траектории перемещения, такая сила называется консервативной. Сила тяжести - консервативная сила. Сила трения - неконсервативная сила, поскольку, совершаемая ею работа, зависит от траектории движения.

В любой момент времени тело будет обладать механической энергией: E = U + K = mgh + 1/2(mV²)

Разница механических энергий тела, замеренных в два разных момента времени, составит:

• W = E2 - E1 - для неконсервативных сил;

• E2 = E1 - для консервативных сил

Для консервативных сил:  U₁ + K₁ = U₂ + K₂  mgh₁ + 1/2(mV₁²) = mgh₂ + 1/2(mV₂²)  gh₁ + 1/2(V₁²) = gh₂ + 1/2(V₂²) 

Это и есть закон сохранения механической энергии.

Мощность

Мощность является скалярной величиной!

Кроме ватта, для измерения мощности часто используют (особенно в автомобильной промышленности) "лошадиные силы" (л.с.): 1 л.с. = 745,7 Вт

Мощность равна произведению скорости и силы  P = FV (H·м/с) или (Вт)

Формула расчета мощности принимает следующий вид: мощность= работа/время , или N=A/t, где N – мощность, A – работа, t – время.  Единицей мощности является ватт (1 Вт). 1 Вт – это такая мощность, при которой за 1 секунду совершается работа в 1 джоуль. Единица эта названа в честь английского изобретателя Дж. Уатта, который построил первую паровую машину. Любопытно, что сам Уатт пользовался другой единицей мощности – лошадиная сила, и формулу мощности в физике в том виде, в котором мы ее знаем сегодня, ввели позже. Измерение мощности в лошадиных силах используют и сегодня, например, когда говорят о мощности легкового автомобиля или грузовика. Одна лошадиная сила равна примерно 735,5 Вт.

Движущие  и тормозящие силы.     Силы, приложенные к звеньям тела человека, действуя динамически, приводят к различному результату. В зависимости от того, как направлены силы относительно скорости движущегося тела, различают:    — движущие силы, которые совпадают с направлением скорости (попутные) или образуют с ним острый угол и могут, совершать положительную работу;   — тормозящие силы, которые направлены противоположно направлению скорости (встречные) или образуют с ним тупой угол и могут совершать отрицательную работу;   — отклоняющие силы, перпендикулярные к направлению скорости и увеличивающие кривизну траектории;   — возвращающие силы, также перпендикулярные к направлению движения, но уменьшающие .кривизну траектории.    От соотношения сил, приложенных к каждому звену тела, зависит и результат их действия.   Движущая сила — это сила, которая совпадает с направлением движения (попутная) или образует с ним острый угол и при этом может совершать положительную работу (увеличивать энергию тела).    Однако  в реальных условиях движений человека всегда существует среда (воздух или вода), действуют опора и другие внешние тела (снаряды, инвентарь, партнеры, противники и др.). Все они могут оказывать тормозящее действие. Более того, ни одного реального движения без участия тормозящих сил просто не бывает.  Тормозящая  сила направлена   противоположно    направлению движения (встречная) или образует с ним тупой угол. Она может совершать   отрицательную работу (уменьшать энергию тела).    Часть движущей силы, равная по величине тормозящей уравновешивает последнюю — это   уравновешивающая сила (Fyp).    Избыток же движущей силы над тормозящей —  ускоряющая сила   (Fуск) — вызывает ускорение тела с массой m согласно 2-му закону Ньютона (Fy=ma). 

Теорема Штейнера

Теорема момент инерции   тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела   относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела   на квадрат расстояния   между осями^[1]:

где

 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

 — расстояние между указанными осями.

Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса

Динамика вращательного движения твердого тела

Чтобы составить уравнение, описывающее динамику вращательного движения абс. тв. тела, разобьём тело на элементарные массы ∆mi, которые мы будем считать материальными точками Пусть на ∆mi в данный момент времени действует сила, которая является

равнодействующей всех сил, приложенных к этой точке – внешних и внутренних Fi ₌Fi внутр +Fi внешн

Момент сил, действующих на ∆mi будет равен

Момент силы, действующий на твердое тело, будет равен векторной сумме вращательных моментов всех элементарных масс

Вращательный момент твердого тела равен векторной сумме моментов внешних сил

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением. Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловая скорость ( ) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения — момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I_z — момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I₁, I₂ и I₃. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω₁, ω₂, и ω₃ — главные компоненты угловой скорости. В общем случае, энергия при вращении с уговой скоростью  находится по формуле:

, где  — тензор инерции.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторнаяфизическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудахАрхимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где   — сила, действующая на частицу, а  — радиус-вектор частицы.

Момент силы относительно точки – это произведение модуля силы на ее плечо.  Плечом в данном случае называется кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до линии действия силы, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (см. рисунок b).  Математически это определение можно представить в виде формулы:

М₀(F) = Fh,     где h – плечо силы относительно точки 0.

Точка, относительно которой рассматривается момент силы, называется центром момента.

Из приведенной выше формулы очевидно, что единицей измерения момента силы является ньютон × метр (Нм). При расчетах в технической механике условно считают, что если момент силы стремиться вращать свое плечо вокруг центра момента против часовой стрелки, то он является положительным, если по часовой стрелке – отрицательным.

Одна и та же сила относительно разных точек может вызывать и положительный, и отрицательный момент 

Отдельный случай, когда рассматриваемая точка (центр момента) лежит на линии действия силы. Очевидно, что в этом случае момент силы относительно этой точки будет равен нулю, поскольку плечо отсутствует (расстояние от линии действия силы до точки равно нулю).

И еще одна важная деталь, которая следует из определения момента силы относительно точки: если переносить силу вдоль линии ее действия, то момент силы относительно любой точки не изменится, поскольку не изменится и расстояние от этой точки до линии действия силы, т. е. плечо

Моментом силы относительно  точки (центра) на­зывается вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии дей­ствия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости, проходя­щей через выбранную точку и линию действия силы. Если мом силы по часов стрелки, то момент отрицательный, а если против, то положительный. Если O— точка, относ кот находится момент силы F, то момент силы обозначается символом М_о(F). Если точка приложения силы F определяется радиусом-вектором r относительно О, то справедливо соотношение М_о(F)=г х F. (3.6) Т.е. момент силы равен векторному произ­ведению вектора r на вектор F. Модуль   векторного   произведения   равен М_о(F)=rF sin a=Fh, (3.7) где h — плечо силы. Вектор М_о(F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F, и против часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F. Формулу (3.7) можно записать в виде M_O(F)=2S, (3.8) где S– площадь треугольника ОАВ.

Момент силы относительно оси

    Момент силы относительно оси, например  O_z (рисунок 1.18), равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси (F' ) относительно точки пересечения оси с плоскостью, т.е.

 M_z(F) = M_o(F') = F' h'.  (1.9)

    Момент считается положительным, если мы смотрим навстречу оси и видим проекцию силы, стремящуюся повернуть плоскость чертежа в направлении против хода часовой стрелки.

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось, т.е. h=0  (например M_z(P)), или сила параллельна оси, т.е. ее проекция на плоскость равна нулю, например, M_z(Q)  . Момент силы относительно оси – скалярная величина. 

Моменты силы относительно координатных осей можно получить, расписав векторное произведение

Величины, стоящие в скобках, представляют собой моменты силы  F относительно соответствующих осей.

Уравнение динамики вращательного движения тверд.тела

Согласно уравнению второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение   и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела  , равно импульсу момента  всех внешних сил, действующих на это тело.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением , где   — радиус-вектор, проведенный из точки O,   — импульс материальной точки. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси    равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса    не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что  , получим .

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):  .

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело: .

Величина момента импульса системы материальных то- чек, вообще говоря, зависит от выбора начала координат, относительно которого он определен. И только в том случае, если в выбранной систе- ме отсчета скорость поступательного движения твердого тела V = 0, его момент импульса не зависит от выбора точки отсчета. Поэтому в этом случае естественно в качестве такой точки выбрать центр инерции тела — начало подвижной системы координат. Тогда в выражении для момента импульса

M = Xm[r × v] (1) скорость v надо заменить на [Ω × r]: M = Xm [r × [Ω × r]] = Xm ¡ Ωr 2 − r(Ω · r) ¢ . (2)

Вводя тензорные обозначения, получим Mi = Xm ¡ Ωix 2 l − xi(Ωkxk) ¢ = Xm(δikΩkx 2 l − xixkΩk) = = Ωk Xm(x 2 l δik − xixk) = ΩkIik. (3) Таким образом, связь между двумя векторами M и Ω можно записать в виде Mi = IikΩk. (4) Если оси x1, x2, x3 направлены вдоль главных осей инерции тела, то недиагональные компоненты тензора инерции равны нулю и эта формула дает M1 = I1Ω1, M2 = I2Ω2, M3 = I3Ω3.

Момент импульса материальной точки» Закон сохранения момента импульса Аналогично моменту силы определяется момент импульса (момент количества движения) материальной точки. Момент импульса относительно точки О равен

Введя плечо  , модуль вектора момента импульса можно записатьв виде:

(37.2)

Моментом импульса относительно оси z называется составляющая Lz по этой оси момента импульса L относительно точки О, лежащей на оси

Выясним, чем определяется изменение момента импульса со временем. Для этого продифференцируем (37.1) по времени t, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения:

(37.5)

Первое слагаемое равно нулю, так как оно представляет собой векторное произведение векторов одинакового направления. В самом деле, вектор   равен вектору скорости v и, следовательно, совпадает по направлению с вектором р=mv. Вектор   по второму закону Ньютона равен действующей на тело силе f [см. (22.3)]. Следовательно, выражение (37.5) можно написать так:

(37.6)

где М — момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той же точки О, относительно которой берется момент импульса L.

Из соотношения (37.6) следует, что если результирующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки О равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относительно той же точки О будет оставаться постоянным.

Взяв составляющие по оси z от векторов, входящих в формулу (37.6), получим выражение[1]:

(37.7)

). Из сравнения этих формул вытекает, что подобно тому, как производная по времени от импульса равна силе, действующей на материальную точку, производная по времени от момента импульса равна моменту силы.

Рассмотрим несколько примеров.

огласно формуле (2.11)

где   —проекция на ось z вектора  , а L_z- проекция на ось z вектора L. Умножим обе части равенства на орт e_zоси z и, учтя, что e_z от t не зависит, внесем его в правой части под знак производной. В результате получим:

Но произведение e_z на проекцию вектора на ось z дает составляющую этого вектора по оси z (см. сноску на стр. 132). Следовательно,

где   — составляющая пo оси z вектора  .