Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости. Простейшей, предельно абстрактной идеализацией движущегося тела в механике явля­ется материальная точка  - тело, размерами и формой которого в условиях соответствующей конкретной задачи можно пренебречь. Система отсчета – это система координат, начало которой связывается с некоторым телом отсчёта. Исходная кинематическая определённость точечного тела - его поло­жение - задаётся с помощью радиус-вектора r, проводимого из начала системы координат в движущееся тело (точку), или скалярно с помощью координат точки х, у, z Векторный и скалярный способы задания положения тела взаимосвязаны:

r = iх + kу + jz, где х, у, z  - проекции точки (конца радиус - вектора r) на соответствующие оси координат, а  i,  k,  j –орты (единичные векторы) осей Х, Y, Z. При движении тела конец его радиус - вектора описывает линию, называемуютраек­торией (линия, вдоль которой движется тело). Уравнение траектории движения точки пред­ставляет взаимосвязь ее координат и для плос­кого (двумерного) движения обычно выражается зависимостью  у = ¦ (х). Изменение местоположения тела за время Dt задаётся или вектором перемещения Dr, проводимым из начального в конечное местоположение тела, или скаляром – путем S, - расстоянием, отсчитываемым вдоль траектории тела в направлении его перемещения.        Dr = r – r_о, т. е. вектор перемещения Dr, представляет собой приращение радиус - вектора r  тела (разность между ко­нечным и начальным значениями r).  Быстрота движения, т. е. быстрота изменения местоположения тела, быстрота прохождения им пути или совершения перемещения характеризуется, величиной, называемой скоростью. Различают среднюю и мгновенную скорости,которые, в свою очередь, подразделяют на скалярные (выражаемые через путь) и векторные скорости, выражаемые через перемещение.

Под средней путевой скоростью <u> понимают величину, из­меряемую отношением всего пройденного телом пути S ко времени t его прохождения:<u> = S/t,    [u] = м/с. Под мгновенной скоростью u понимают предел средней скоро­сти при стягивании интервала времени(  Интервал времени Dt, то есть разность между конечным t2 (или просто текущим t) и начальным t1 (или t0) моментами, то есть Dt = t2 – t1 = t – tо  может быть приравнен к текущему моменту времени t (Dt = t), если начальный момент tо выбран равным нулю. ) Dt  в момент, в , в мгновение (при t = Dt  ®  0),   u = lim DS/Dt  = dS/dt = S^¢  Мгновенная векторная скорость u понимается как предел отношения совершённого телом перемещения Dr ко времени Dt его совершения, при условии, что  Dt ® 0:  u = lim Dr/Dt  = dr/dt = r^¢ - производная от радиус – вектора по времени, которая может быть определена и как отношение элементарных (физически бесконечно малых) перемещения  dr и времени dt. Так же, как и радиус – вектор r, мгновенная векторная скорость u может быть записана через проекции на оси координат: u = dr/dt = d/dt(iх + jу + kz) = i×dх/dt  + j×dу/dt  + k×dz/dt  = iu_х  + ju_у + ku_z   Численное значение (модуль) скорости равно: u = Ö(u_х² + u_у² + u_z²). Направление же вектора мгновенной скорости совпадает с направлением вектора элемен­тарного перемещения dr, направленного по вектору касательной t траектории в сторону перемещения тела: u = dr/dt  Þ  u ­­  dr; dr = lim Dr  при Dt  ®  0.                                

u = ut, где t -  единичный вектор (ïtï = 1) касательной к траектории (орт), направленный по направлению движения тела.

Мгно­венная путевая скорость u = dS/dt, равна численному значению (модулю) мгновенной вектор – скорости ïuï = ïdr/dtï, так как при Dt ® 0 (при Dt = dt) длина дуги dS траекто­рии стремится к длине dr секущей..

Абсолютно твердое тело и его виды движения. Кинематика вращательного движения. Угловая скорость и ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения.

В тех ситуациях, когда размерами и формой движущегося тела нельзя пренебречь, его часто можно смоделироватьтвёрдым телом – совокупностью материальных точек с неизменными расстояниями между ними. При этом про­извольное движение такого тела обычно может быть разложено на такие бо­лее простые, независимые движе­ния, как поступательное и вращательное.

Поступательное движение-такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся при его движении параллельной самой себе (Поступательным является, прежде всего, прямолинейное движение, а также и такие виды криволинейного движения, движение в кабине колеса обозрения ...). Существенно, что при поступательном движении все точки тела дви­жутсяэквивалентно, т. е. по идентичным траекториям с одинаковыми мгновенными скоростями и ускорениями.При поступательном движении все точки тела дви­жутся эквивалентно, т. е. по идентичным траекториям с одинаковыми мгновенными скоростями и ускорениями.

Простейший вид вращат. движ.- вращение вокруг неподвижной оси. В нем все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат  на одной прямой, называемой осью вра­щения. Во вращательном движении разные точки тела (разно удалённые от оси вращения) за одно и тоже время Dt совершают разные линейные перемещения Dr и, соответственно, обла­дают разными линейными скоростями и ускорениями. Одинаковыми же для всех точек вращающегося вокруг оси тела будут не линейные, а угловые кинема­тические характеристики (скорости и пути, перемещения). Вращающееся вокруг неподвижной оси  тело имеет одну степень свободы. Линейное перемещение Dr (или dr) пропорционально расстоянию R до оси вращения. Угло­вое же перемещение Dj (или dj), равное линейному Dr, делённому на радиус R соответствующей окружности, то есть dj = dr/R,  не зависит от R. Соответственно и быстрота w = dj/dt [рад/с = с^-1] углового перемещения (или изменения утла поворота j), называемаяугловой скоростью, и быстрота её изменения e = dw/dt [рад/с² = с^-2], называемая угловым ускорением, не зависят от радиуса окружности, то есть являются оди­наковыми для всех точек вращающегося тела. Линейные и угловые характеристики точки, вращающейся по окружности радиуса R взаи­мосвязаны следующим образом:

w= dj/dt = (dr/R)/dt = u/R;  Þ  u = wR.

e = dw/dt = d/dt(u/R)  = (1/R)du/dt  = а_t/R  Þ   а_t = eR

а_n = u²/R = (wR)2/R  = w²R;  

а = Ö(а_t² + а_n²) = Ö(e²R² + w⁴R²) = [Ö(e² + w⁴)]/R .

Направление векторов dj и w определяется правилом правого винта (буравчика), совпа­дая с его поступательным перемещением при вращении рукояти в направ­лении вращения тела.  Угловое же ускорение e = dw/dt совпадает, по направ­лению с элементарным приращением dw угловой скорости: e­­dw . Оно, таким образом, направ­лено по направлению w при ускоренном (dw/dt > 0) вращении и против направ­ления w при замедленном (dw/dt < 0) вращении.

Векторный характер w  и e позволяет характеризовать с их помощью не только быстроту вращения, но и ориентацию оси вращения в пространстве, и направление вращения.Так же, как и для линейных, для угловых кинематических характеристик справедливы аналогичные уравнения для скорости и перемещения во враще­нии с постоянным ускорением:  w = w_о ± et   и    j = j_о + w_оt ± et²/2 , где знак ²плюс ² - для ускоренного вращения, а ²минус² -  для замедленного вращения.Время одного оборота Т = 1/n называется периодом вращения:w = 2p/Т или Т = 2p/w.

Динамика материальной точки и системы материальных точек.

Первый закон ньютона

Тело называется свободным, если действия на него со стороны других тел или пренебре- жимо малы, или компенсируют друг друга. Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчёта, относительно которых свобод- ное тело движется равномерно и прямолинейно. Свойство свободного тела сохранять скорость неизменной называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют ещё законом инерции. Равномерное прямолинейное движение свободного тела называется движением по инерции. Скорость любого тела остаётся постоянной (в частности, равной нулю), пока воздействие на это тело со стороны других тел не вызовет её изменения. 1Согласно закону всемирного тяготения гравитационные силы обратно пропорциональны квадрату расстоя- ния между телами. 1 Система отсчёта, относительно которой свободное тело движется равномерно и прямолиней- но, называется инерциальной. Первый закон Ньютона — это постулат о существовании инерци- альных систем отсчёта. В инерциальных системах отсчёта механические явления описываются наиболее просто. всякая си- стема отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы равномерно и прямоли- нейно, сама является инерциальной. Система отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы отсчёта с ускорени- ем, является неинерциальной. В такой «плохой» системе отсчёта свободное тело будет двигаться с ускорением, что усложнит описание его движения.  Сущность первого закона Ньютона может быть сведена к трём основным положениям:

1. все тела обладают свойствами инерции;

2. существуют инерциальные системы отсчёта, в которых выполняется первый закон Ньютона;

3. движение относительно. Если тело  А  движется относительно тела отсчета  В  со скоростью  υ, то и тело  В, в свою очередь, движется относительно тела  А с той же скоростью, но в обратном направлении  υ = – υ'.

2 закон Ньютона связывает вместе три величины: ускорение, массу и силу.

Масса. Прямая пропорциональность между модулями ускорения и силы означает, что отношение модуля силы к модулю ускорения является постоянной величиной, не зависящей от силы:

   Нагружая тележку достаточно тяжелыми гирями в описанном ранее опыте (рис.3.8), легко заметить, что, чем больше гирь на ней находится, тем медленнее она будет набирать скорость, тем меньше ее ускорение. Поэтому для нагруженной тележки отношениеF/a больше, чем для ненагруженной. Это как раз и означает, что ускорение зависит не только от силы, но и от свойств самого тела. Величину F/a, равную отношению модуля силы к модулю ускорения, называют массой (точнее, инертной массой) тела. Закон:Ускорение тела прямо пропорционально  силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе: .

Единица измерения силы в СИ: 1Н  Сила 1Н -это такая сила ,которая телу массой 1кг придает ускорение1м/c2. Ускорение, приобретаемое телом в результатедействия силы, направлено также, как и сила.  2-ой закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.

В механике Ньютона считается, что свободное тело (на которое не дейст­вуют другие тела или действие их взаимно скомпенсировано) сохраняет сос­тояние своего движения, т. е.  движется с неизменной скоростью (в частном случае покоится). Наличие же взаимодействия со стороны других тел проявляет себя, как установлено в динамике Галилея - Ньютона, в изменении скорости данного тела. Быстроту ее изменения характеризуют векторной величиной, называемойускорением а, численно равным производной от мгновенной вектор - скорости  u  по времени:

 а =  lim Du/Dt  при Dt ® 0;  а = du/dt = u^¢   [а] = м/с².

Т. к. вектор-скорость u = ut  обладает как бы двумя степенями свободы - модулем u и направлением (задаваемым вектором t), то и быстрота её изменения - вектор уско­рения а - может быть представлен в виде двух составляющих, называемых тангенциальным (касательным) и нормальным (центростремительным) ускорениями:

а = du/dt = d/dt(ut) = t(du/dt) + u×dt/dt  = а_t + а_n, где а_t = t(du/dt) - тангенциальное ускорение, численно равное быстроте измене­ния модуля скорости и направленное по направлению t, то есть по касательной к траектории в сторону  перемещения тела при (du/dt) > 0 и против t при (du/dt) <  0;

 а_n = u×dt/dt - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления скорости.

Покажем, что нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону её вогнутости и численно равно u²/R, где R - радиус кривизны тра­ектории в соответствующей точке.

Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен: |а| = а = Ö(а_t² + а_n²) = Ö[(du/dt)² + u⁴/R²].

Знание ускорения, с которым движется тело, необходимо для решения ос­новной задачи механики, т. е. для определения скорости и местоположения тела в любой момент времени. Для этого необходимо иметь уравнения, связывающие скорость и ускорение, а также радиус - вектор с ускорением тела.

Кинематические уравнения движения (уравнения для скорости и радиус-вектора).

Для движения точки с постоянным ускорением

а = du/dt = const, ее скорость определится

интегрированием соотношения du = а×dt:

 òdu = òа×dt   Þ   u - u_о = аt   Þ u = u_о + аt

Аналогично, зная скорость u = dr/dt, найдём радиус-вектор  r, определяющий местоположение тела. Интегрируя соотношение dr = udt, получим:

 òdr = òudt = ò(u_о + аt)dt    Þ    r – r_о = u_оt + аt²/2  Þ   r =  r_о + u_оt + аt²/2 

Кроме ускорения а, решение основной задачи механики, т. е. определение скорости u  и местонахождения r точки, требует знания начального сос­тояния движения точки, т. е. значений скорости u_о и положения r_о точки в начальный момент времени t = 0. Задача нахождения ускорения тела решается в следующем за кинематикой разделе механики - динамике.

На практике полученные векторные уравнения для скорости и радиус - век­тора используют обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат:х = х_о + u_охt + а_хt²/2;    у = у_о + u_оуt + а_уt²/2;     z = z_о + u_оzt + а_zt²/2;

В прямолинейном одномерном движении можно записать следующие формулы для скорости и пути:

u = u_о + аt     и    S = u_оt + аt²/2, где путь S в однонаправленном движении равен модулю разности координат конечного и начального положений тела.

Закон сохранения импульса

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой. В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через   и   По третьему закону Ньютона   Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны:   Применим к этим телам второй закон Ньютона: 

где   и   – импульсы тел в начальный момент времени,   и   – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений

следует: 

Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.

Закон сохранения импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 1.17.1) следует, что проекции векторов   и   импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.

Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение.

При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд движется вперед, а орудие – откатывается назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 1.17.2). Если скорости орудия и снаряда обозначить через   и   а их массы через M и m, то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX

Третий закон Ньютна В природе никогда не бывает одностороннего действия одного тела на другое, между телами всегда возникает взаимодействие. Взаимодействие между телами может происходить как при соприкосновении, так и без соприкосновения тел.

Закон: Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по величине и противоположны по направлению.

Эти силы: - действуют вдоль одной прямой;  - направлены в противоположные стороны;  - равны по величине;  - приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга;  - одинаковой природы. Природа сил: в механике различают 2 вида сил: силы тяготения и электромагнитные силы ( силы упругости и силы трения). При взаимодействии тела приобретают ускорения. Действие тел друг на друга никогда не бывает односторонним!

Силы трения.Закон трения скольжения.Сила трения качения.

В земных условиях трение всегда сопутствуют любому движению тел. При всех видах механического движения одни тела соприкасаются либо с другими телами, либо с окружающей их сплошной жидкой или газообразной средой. Такое соприкосновение всегда оказывает большое влияние на движение. Возникает сила трения, направленная противоположно движению. Существует несколько видов трения:

Сухое трение возникает при движении твердых соприкасающихся тел относительно друг друга. Вязкое (иначе жидкое) трение возникает при движении твёрдых тел в жидкой или газообразной среде, или когда жидкость или газ текут мимо неподвижных твёрдых тел. Трение покоя возникает, когда к телу прикладывают силу, пытающуюся сдвинуть это тело. Причинами возникновения силы трения являются: неровность соприкасающихся поверхностей и взаимное притяжение молекул соприкасающихся тел. Сила трения зависит от рода соприкасающих поверхностей и от величины нагрузки.

Масса системы. Центр масс.

Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести:

В полученные равенства входят только массы   материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты   этих точек. Следовательно, положение точки С (x_C, y_C, z_C) действительно харак­теризует распределение масс в теле или в любой механической си­стеме, если под   понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.

Геометрическая точка С, координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы.

Положение центра масс определяется его радиус-вектором 

где   - радиус-векторы точек, образующих систему.

Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тя­жести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тя­жести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находя­щегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная си­стема под действием каких-нибудь сил или нет.

 

Закон движения центра масс.

Воспользовавшись законом изменения импульса,  получим закон движения центра масс:

dP/dt = M∙dV_c/dt = ΣF_i

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

В частности, центр масс замкнутой системы относительно произвольной ИСО движется равномерно прямолинейно или покоится. Изменение импульса центра масс происходит за счет внешних сил.

Внутренние силы не влияют на характер его движения, если внешнее воздействие на систему постоянно и однородно. Например, во время салюта движение центра масс разорвавшегося пиротехнического снаряда в постоянном однородном поле силы тяжести происходит по параболе.

Если внешнее воздействие изменяется, то на различные части системы начинают действовать разные силы и характер движения центра масс меняется. В качестве примера рассмотрим движение системы, состоящей из одного тела - снаряда. В случае падения одной из частей разорвавшегося в воздухе снаряда на землю в системе появится новая внешняя сила - сила реакции опоры. Характер движения центра масс системы (осколков снаряда) при этом изменится. Наличие внутренних сил в этом примере является необходимым условием изменения характера движения центра масс системы. Без этих сил, обусловивших распад снаряда на части, не произошло бы изменения траектории его движения вплоть до падения снаряда на землю.

Кинетическая и потенциальная энергия Кинетическая энергия

Когда сила, приложенная к телу, больше силы сопротивления, то результирующая сила приводит тело в движение. Движущееся тело обладает кинетической энергией.

Работа по ускорению тела тратится на увеличение его скорости, т.е. увеличение кинетической энергии:  K = 1/2(mV²)

Кинетическая энергия тела прямо пропорциональна его массе и скорости - кинетическая энергия тем больше, чем выше скорость и больше масса тела.

Как связана кинетическая энергия и работа?

Связь между силой и ускорением: F = ma

Работа силы при перемещении тела: W = F·s·cosΘ

Если приложенная сила и направление перемещения совпадают: (Θ = 0°): W = F·s = m·a·s

Из законов прямолинейного движения: 

V₂² - V₁² = 2as a = (V₂² - V₁²)/2s W = m·a·s = m·s·(V₂² - V₁²)/2s = m·(V₂² - V₁²)/2 = 1/2(mV₂²) - 1/2(mV₁²) = K₂ - K₁

Работа - это разность кинетических энергий тела в начальной и конечной точке

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела: 

Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии. 

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью   равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость: 

Если тело движется со скоростью   то для его полной остановки необходимо совершить работу 

Энергия

Только благодаря энергии на нашей планете существует жизнь. Энергия бывает разная. Тепло, свет, звук, микроволны, электричество — все это разные виды энергии. Для всех происходящих в природе процессов требуется энергия. При любом процессе один вид энергии преобразуется в другой. Продукты питания – картофель, хлеб и т.д. – это хранилища энергии. Почти всю используемую на Земле энергию мы получаем от Солнца. Солнце передает Земле столько энергии, сколько произвели бы 100 миллионов мощных электростанций.

Виды энергии

Энергия существует в самых разных видах. Кроме тепловой, световой и энергии звука есть еще химическая энергия, кинетическая и потенциальная. Электрическая лампочка излучает тепловую и световую энергию. Энергия звука передается при помощи волн. Волны вызывают вибрацию барабанных перепонок, и поэтому мы слышим звуки. Химическая энергия высвобождается в ходехимических реакций. Продукты питания, топливо (уголь, нефть, бензин), а также батарей­ки — это хранилища  химической энергии. Пищевые продукты — это склады химической энергии, высвобождающейся внутри организма.

Движущиеся тела обладают кинетической энергией, т.е. энергией движения. Чем быстрее движется тело, тем боль­ше его кинетическая энергия. Теряя скорость, тело теряет кинетическую энергию. Ударяясь о неподвижный объект, движущееся тело передает ему часть своей кинетической энергии и при­водит его в движение. Часть энергии, получаемой с пищей, животные обращают в кинетическую.

Потенциальной энергией обладают тела, находящиеся в силовом поле, например в гравитационном или  магнитном. Эластичные или упругие тела (обладающие способностью вытягиваться) имеют потенциальную энергию натяжения или упругости. Маятник обладает максимальной потенциальной энергией, когда находится в верхней точке. Разворачиваясь, пружина освобождает свою потенциальную энергию и заставляет колёсики в часах вращаться. Растения получают энергию от Солнца и производят питательные вещества — создают запасы химической энергии.