3.1. Прийняття основних припущень

Перш ніж переходити до математичного моделювання робочих процесів в МНАГІП з комбінованим АГР, розглянемо основні фізико-механічні характеристики типових елементів, що входять до його складу, з метою прийняття основних припущень при аналітичному описі. Основними типовими елементами досліджуваного МНАГІП є: гідравлічні виконавчі механізми поступального руху; напірні і зливні трубопроводи, порожнини, заповнені робочою рідиною; приводна насосна установка; елементи пружного повернення робочого органу – силові механічні пружини; автоматичний гідророзподільний пристрій – комбінований АГР.

Внутрішні перетоки і зовнішні витоки для виконавчих поршневих і плунжерних гідроциліндрів приймаємо, згідно рекомендацій [36, 92, 188], пропорційними перепаду тиску.

Дисипативні сили шкідливого опору визначаються сухим і в'язким тертям поршня і штока. Як відомо із робіт [31, 36, 93, 152], сили сухого і в'язкого тертя мають нелінійний характер взаємодії з виконавчим органом, що приводить до нелінійного характеру руху.

Врахування сил сухого тертя при дослідженні динаміки даних гідромеханізмів будемо проводити згідно залежності [79]:

, (3.1)

де – сила сухого тертя за відсутності тиску; р – поточні значення тиску в порожнині гідроциліндра; – коефіцієнт пропорційності між тиском в порожнині і силою тертя в ущільненнях; D_ц – діаметр циліндра; D – діаметр штока в порожнині гідроциліндра; Н – висота манжетного ущільнення; V – лінійна швидкість. За відсутності елементів ущільнення, тобто при використанні ущільнення зазором, особливо в рухомих парах типу поршень-циліндр, враховуємо тільки статичну (теоретичну) складову сухого тертя [79].

Сили в'язкого тертя будемо приймати пропорційними швидкості рухомого елемента (поршня, плунжера) відносно нерухомого корпусу. Припускаючи, що сила в'язкого тертя рухомого елемента по корпусу при русі залежить від властивостей рідини, можна отримати наступну залежність [79, 152]:

, (3.2)

де – коефіцієнт в'язкого тертя; D і L – діаметр і довжина поверхні тертя рухомого елемента; V – середня швидкість рухомого елемента; – величина зазору між рухомим елементом і направляючою поверхнею корпусу; – середній коефіцієнт динамічної в'язкості.

Динамічний розрахунок гідропривода насосного агрегату проводимо з врахуванням коефіцієнта _пр, який характеризує приведену податливість гідросистеми. Наведений коефіцієнт податливості гідросистеми _пр може бути визначений за формулою [30, 156]

, (3.3)

де d_тр і D_ц – діаметри підвідних трубопроводів і циліндра; _тр і _ц – товщина стін трубопроводів і циліндра; – коефіцієнт стисливості робочої рідини; Е_м – модуль пружності матеріалу підвідних трубопроводів і циліндра.

Як показали дослідження, коефіцієнт стисливості рідини є величиною змінною, залежною від тиску [10, 36, 92, 175 та ін.]. З достатньою точністю залежність коефіцієнта стисливості від тиску можливо розділити на три ділянки, на яких ця залежність буде описуватись виразом [92, с. 75]:

, (3.4)

де – початкове значення коефіцієнта стисливості для і-ої ділянки; – коефіцієнт, що враховує зміну стисливості рідини залежно від зміни тиску; р – поточне значення тиску в гідросистемі.

Відповідно до отриманих експериментальних даних [79, 92], при зміні тиску в гідросистемі від 0,3 до 2 МПа коефіцієнт стисливості рідини, м²/Н:

,

де р – поточне значення тиску в гідросистемі, Н/м² (Па).

При зміні тиску в гідросистемі від 2 до 5 МПа коефіцієнт стисливості рідини складатиме:

. (3.5)

При тискові, більшому 5 МПа, коефіцієнт стисливості рідини змінюється несуттєво і може бути прийнятий в межах м²/Н.

ПГС, що використовується для живлення гідропривода досліджуваного МНАГІП, включає приводний електродвигун, насос і запобіжний клапан.

Стосовно даної насосної установки зробимо наступні припущення. Продуктивність насоса може бути визначена згідно залежності [31, 156]:

, (3.6)

де – теоретична продуктивність насоса; k_втр – коефіцієнт об'ємних втрат; p – поточне значення робочого тиску в гідросистемі.

Як показали дослідження [66, 79], об’ємні втрати складають 3-5 %, тому для спрощення розрахунків приймаємо продуктивність насоса постійною Q_н = const. Далі стосовно ПГС приймаємо: тиск в гідросистемі завжди менше, ніж тиск необхідний для спрацьовування запобіжного клапана; можливі витоки в насосі і закритому запобіжному клапані вважаємо лінійно залежними від тиску.

Як пружні елементи повернення робочого органу можуть бути використанні акумулятори різних типів: механічні пружини, гідравлічні або пневматичні акумулятори, гумометалеві пружні елементи. У кожному конкретному випадку будемо вважати, відповідно до прийнятих в науковій літературі припущень [30, 31, 36, 48, 152], що пружний елемент є безінерційною ланкою і використовувати в динамічних розрахунках тільки його статичну характеристику.

Окрім того, для математичного опису елементів досліджуваного гідропривода приймаємо наступні загальноприйняті припущення [26, 65, 66, 70, 79, 131 – 136, 138, 145 та ін.]: хвильові процеси в трубопроводах можуть не розглядатися, зважаючи на малу довжину останніх; інерційна складова робочої рідини мала і нею можна знехтувати; коефіцієнти витрати через прохідні перерізи залишаються постійними; температура і в'язкість робочої рідини сталі; рухомі елементи і несучу конструкцію привода вважаємо абсолютно жорсткими, оскільки їх пружна деформація на 2-3 порядки менша пружної деформації рідини.

Крім того, необхідно зробити окремі припущення для технологічної частини насосного агрегату, тобто для насосного вузла. Приймаємо, що всмоктувальний та нагнітальний клапани відкриваються та закриваються миттєво і без запізнень, синхронно до напряму руху робочого органу – поршня з мембраною. Величина відкриття всмоктувального та нагнітального клапанів забезпечує таку площу відкриття f_кл, яка дорівнює площі живого перерізу отвору всмоктувального патрубка і нагнітального трубопроводу.

Швидкість руху робочого органа – поршня з мембраною під час такту всмоктування повинна забезпечувати умову нерозривності потоку, тобто умову безкавітаційної роботи насоса. Така умова може виконуватись тільки в тому випадку, коли тиск під час всмоктування не буде менше за тиск насиченої пари р_t ПС при конкретних значеннях температури. Отже, швидкість руху поршня з мембраною V не повинна перевищувати деякого критичного значення швидкості V_кр. Враховуючи те, що максимальне розрідження під час такту всмоктування виникає на початку руху поршня з мембраною [82, 83, 195] і те, що на початковому етапі швидкість руху поршня з мембраною досягає певного максимального значення V_max, можна записати умову V_max < V_кр.

Критичне значення швидкості, при якому не виникатиме явище кавітації в камері мембранного насосного агрегату можна знайти, приймаючи умову про те, що отвір всмоктувального клапана є малим. Згідно з [117], отвір називається малим, якщо його висота менше одної десятої частини напору, під яким відбувається витікання чи надходження рідини в цей отвір. Отже, витрата рідини, що надходить у всмоктувальний отвір, може бути розрахована, з врахуванням того, що досліджуваний мембранний насос зануреного типу та того, що у камері максимально допустиме розрідження не менше тиску насиченої пари р_t з деяким запасом , за формулою:

, (3.7)

де – коефіцієнт витрати;

– густина ПС при температурі t, кг/м³;

h_з – глибина занурення мембранного насоса (від вільної поверхні ПС до всмоктувального отвору), м;

р_п – тиск на поверхні ПС, Па;

р_t – тиск насиченої пари при температурі t, Па;

– кавітаційний запас, Па.

З іншого боку, витрата рідини що надходить у всмоктувальний отвір зі швидкістю V_всм.тр. розраховується за формулою і згідно рівняння нерозривності потоку [83, с. 54]:

, (3.8)

де V_м – швидкість руху мембрани;

S_еф – ефективна площа мембрани.

Враховуючи вищенаведене і прирівнявши рівняння 3.7 та 3.8, отримуємо вираз для знаходження допустимого значення швидкості , при якому не виникатиме явище кавітації в камері мембранного насоса:

. (3.9)

Критична швидкість V_кр відрізняється від допустимої швидкості тільки тим, що при знаходженні V_кр не враховується величина кавітаційного запасу .

Відомо, що густина, в’язкість та тиск насиченої пари для кожної рідини залежить від температури [154], тому для використання формули 3.9 необхідно враховувати температуру ПС.

Зокрема, залежність густини від температури виражається наступною формулою [154]:

, (3.10)

де – густина рідини при температурі 20 ⁰С, кг/м³;

– коефіцієнт температурного розширення, ⁰С ^-1.

Згідно досліджень, які були проведені проф. І. А. Чарним [29], коефіцієнт витрати зменшується зі збільшенням в’язкості, тому на основі таких досліджень В. П. Гайдуковим було запропоновано залежності, що дозволяють визначати коефіцієнт витрати при різних значеннях кінематичної в’язкості (табл. 3.1) [29, с. 191].

Таблиця 3.1

Залежність коефіцієнта витрати μ рідини від її кінематичної в’язкості

Кінематична в’язкість ν, см2/с	Коефіцієнт витрати μ
ν<0,69
ν = 0,69÷5,5
ν = 5,5÷150

Коефіцієнт кінематичної в’язкості, як зазначалось вище, є також величиною, що залежить від температури. Числові значення в’язкості рідин при різних температурах визначаються або експериментальним шляхом або за допомогою емпіричних залежностей. В [160] наведені рекомендації щодо розрахунку динамічної в’язкості від температури різними методами, наприклад, методами Томаса, Орріка та Ербара, Ван-Вельцена і Кардозо тощо. Зокрема, для деяких полярних рідин (рідини, молекули яких в значній мірі зв’язані між собою) Махія і Стейрс запропонували рівняння, що дає можливість знайти динамічну в’язкість рідини в залежності від температури [160, с. 394]:

, (3.11)

де – коефіцієнт динамічної в’язкості, сПз;

T – температура ПС, ⁰К;

, , – константи рівняння, які приймаються з довідникової літератури, наприклад, з [160, с. 398].

Для знаходження тиску насиченої пари при конкретному значенні температури ПС t, можна використати рівняння Антуана у формі десяткового логарифму [99, с. 6]:

, (3.12)

або при С_А =0 ; (3.13)

та натурального логарифму [160, с. 173]:

, (3.14)

де р_t – тиск насиченої пари, мм. рт. ст. (1 мм. рт. ст. = 133,3 Па);

А, В, С_А, А₁, В₁, С₁ – константи рівняння Антуана;

t – температура ПС, ⁰С;

T – температура ПС, ⁰К.

Тиск насиченої пари розчинів можна визначити, використовуючи закон Рауля [99, с. 7; 160, с. 269]: тиск насиченої пари розчину є сумою добутків значень тиску насиченої пари кожного компонента розчину на мольну частку цього компонента в розчині, а саме:

, (3.15)

де – тиск насиченої пари розчину, мм. рт. ст.;

– тиск насиченої пари і-го компонента розчину, розрахований за формулами 3.12 – 3.14, мм. рт. ст.;

– мольна частка і-го компонента в розчині.

Константи рівняння Антуана вибирають для конкретного рівняння 3.12 –3.14 з довідникової літератури, наприклад, для рівнянь 3.12, 3.13 – з [99, с. 20; 184, с. 320], для рівняння 3.14 – з [160, с. 534]. Застосування констант Антуана обмежене тими діапазонами температур, для яких вони рекомендовані авторами вказаної довідникової літератури і використовувати рівняння Антуана поза рекомендованими інтервалами некоректно.

Величина кавітаційного запасу в рівнянні 3.9 може бути визначена згідно наступної залежності [32]:

, (3.16)

де р_всм – тиск на вході в насос;

V_всм – швидкість у всмоктувальному трубопроводі.