3. Нестационарная теплопроводность.

Основные соотношения для расчета нестационарной теплопроводности в телах разной формы приведенные в табл. 4.1 [2].

Пример 3.1. Для испытания на стойкость к образованию трещин бетонную плиту из гидротехнического бетона размерами l1 х l2 х l3 м умещают в камеру искусственного климата, температура в которой поддерживается постоянной T_в = const, K; коэффициент теплоотдачи от поверхности плиты к воздуху α_в = const, Вт/( м^{2 .} К). Начальная температура бетона Т_б = const, К. Исходные данные приведены в табл. 3.1

Найти распределение температур по толщине плиты через промежуток

времени 0,5; 1,0; 3,0; 6,0 и 24 часа после размещения плиты в испытательную камеру.

Таблица 3.1.

№	l1	l2	l3	αг	Tв	Тб
0	0,20	2,0	2,0	25	243	293

Решение. Поскольку толщина плиты на порядок меньшее двух других размеров, то в первом приближении плиту можно считать плоской безгра-ничной пластиной. Характерным размером пластины (табл. 2.4) при симметричном охлаждении есть половина ее толщины l = l_п /2 = 0,1 м.

За справочниками определяются физические свойства бетона:

теплопроводность - λ_бт = 2,0 Вт/(г. К);

плотность - ρ_бт = 2400 кг/м³ ;

теплоемкость - с_б = 0,83 кДж/( кг ^. К);

температуропроводность - а_б = 10^-6 м²/с.

Вычисляем значения чисел Био и Фурье

(значение времени в числе Фурье должны подставляться в секундах).

Решение сводиться к определению безразмерной температуры Θ, которое для безграничной пластины в произвольной точке с координатой х, в момент времени τ можно вычислить по формуле

μ_n - n-й корень характеристического уравнения ctg μ = μ / Bi,

(значение μ_n - для n =1, 2, ...,6 определяются в зависимости от числа Био),

A_n = 2 (sinμ_n) / (μ_n + sinμ_{n *} cosμ_n).

Зная величину Θ, можно найти искомую размерную температуру Т(x,τ). Для инженерных расчетов достаточной точности можно использовать от одного до трех членов ряда для определения безразмерной температуры. Найдем значения корней характеристического уравнения используя метод кубической сплайновой интерполяции

.

Данные матрицы М в виде векторов имеет вид:

О пределим коэффициенты кубического сплайна:

Определение функции для расчета интерполяционных значений с использованием кубического сплайна

.

Определим значения Fk_i(Bi) для значения критерия Bi =1,25

. Для удобства следующих вычислений введем обозначения

.

Вычислим значения коэффициентов А₁, А₂ и А₃

.

Для значений l лежачих в границах 0...0,1 м введем значения безразмерной координаты j = y / l₁ и определим значения безразмерной температуры Θ для этих параметров

.

.

В результате расчетов получим

.

Распределение температур по толщине плиты приведено на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Распределение температур по толщине плиты.

ЗАДАЧИ

3.1. Бункер с зерном (эффективный коэффициент теплопроводности λ_с= 0,163 Вт/(г. К), плотность ρ_с = 850 кг/м³, теплоемкость с_з = 840 Дж/(кг ^. К) имеет форму цилиндра радиусом r = r, м, и находиться в помещении с температурой воздуха T_в = T_в ,К. Начальная температура зерна равняется температуре воздуха. В результате биологических процессов в зерне выделяется теплота в количества q_з = q_з, Вт/м³. Коэффициент теплоотдачи от поверхности бункера к воздуху α_в =α_в, Вт/(м^{2 .} К). Коэффициент температуропроводности зерна a_z = 0,00000023 м²/с.

Считая приблизительно бункер неограниченным цилиндром, определить температуру его оси и поверхности через 15 часов. При решении применить метод суперпозиций. Исходные данные для решения задачи приведенны в табл. 3.2.

Таблица 3.2.

№	r, г	Tв, К	qз, Вт/м3	αу, Вт/(м2. К)
1	2,0	298	2,5	6,0
2	2,2	299	2,5	6,1
3	2,4	300	2,6	6,2
4	2,6	301	2,6	6,3
5	2,8	303	2,8	6,4
6	2,9	304	2,8	6,5
7	3,0	305	2,7	6,7
8	3,2	307	2,6	6,8
9	3,4	308	2,8	6,9

Задача 3.2. При определении коэффициента температуропроводности а теплоизоляционных материалов используется прибор, который представляет собою шар из исследуемого материала, внутри которого установленные две термопары: одна в центре, другая – на глубине r = 0,5 r_s радиуса шара. Шар нагревают до некоторой первоначальной температуре T_нач, а потом помещают в холодную среду, температура которой поддерживается постоянной T_c = const. В расчетах температуропроводности материала а принимают аналитическое решение задачи об охлаждении шара и данные одновременных значений показаний термопар в некоторый момент времени τ, который близок регулярному режиму. На практике температуры регистрируются несколько раз, но в расчеты принимаются значение, при котором числа Фурье Fo > 0,3.

Определить коэффициенты температуропроводности материала описанным методом, если радиус пули r_s = 0,30 м, начальная температура материала пули T_s = T_s, K, температура охлаждающей среды T_c = T_c, K, показание термопар T_p1= T_p1, K и T_p2 = T_p2, K при времени охлаждения τ =20 мин. Теплоемкость материала c_s = 816 Дж/(кг ^. К), плотность материала ρ_s = 800 кг/м³ ( табл.3.2.).

Таблица 3.2.

№	Ts	Tc	Tp1	Tp2
1	293	273	275,0	274,0
2	294	273	275,0	273,8
3	295	272	276,0	275,0
4	296	275	276,2	275,6
5	297	271	275,9	275,0
6	298	272	276,0	275,0
7	299	273	277,0	276,0
8	301	278	282,9	282,0
9	302	274	276,0	275,0