2. Теория подобия тепловых процессов

Теория подобия тепловых процессов играет важную роль в математическом моделировании и оптимизации процессов теплообмена. На основе чисел теплового и гидродинамического сходства рассчитываются условия моделирования или формируются критериальные уравнения, которые описывают процессы теплообмена. Ниже на приведенных примерах показаны принципы использования теории подобия в моделировании процессов теплообмена

Пример 2.1. На экспериментальной установке исследовался теплообмен между поверхностью горизонтально расположенной трубы и свободным потоком воздуха. Внешний диаметр трубы d = 0,045 г. Температура воздуха, которая находится вдали от поверхности трубы, Тв = 293 К. В экспериментах получены следующие данные за коэффициентом теплоотдачи α , используя которые найти критериальное уравнение для определения чисел Нуссельта:

ΔТ, К 20 40 60 80 100

α, Вт/(м^{2 .} К) 6,00 7,10 7,90 8,45 8,97,

где ΔТ – разность температур между стенкой и воздухом.

Решение. Согласно табл. 7.1. [2] критериальне уравнению имеет вид

Nu = c^. ( Gr ^. Pr )^{n .} (Pr / Pr_с)^m ,

где Nu = αd/λ; Gr = gβΔТd³/ν² , Pr = ν/a. Значение чисел Грасгофа Gr и Прандтля Pr рассчитываются по температуре воздуха вдали от исследуемой трубы. Значение числа Прандтля Pr_с - по температуре стенки. Как правило, значение коэффициента равняется m = 0,25.

Определим влияние отношения (Pr /Pr_с)^m на значение числа Нуссельта, на- ходя значение чисел Прандтля для соответствующих температур (табл.2Д [2]):

Физические свойства воздуха при температуре Т = 293 К имеют значение: λ =0.0259 Вт/ (м^.К); ν =15.06. 10^-6 м²/с; а =21.4.10^-6 м²/с; β=1/273 К^-1. Введем следующие обозначения физических величин для выполнения расчетов в пакете программ Mathcad

Определим значения чисел Нуссельта, произведения чисел Нуссельта на 1/( Pr / Pr_с)^0.25 и логарифмы произведений этих величин:

Определим значения комплекса G r^. Pr и их логарифмов:

Строим график зависимости логарифмов этих величин (рис.2.1).

Рис.2.1. Зависимость log(Nu/(Pr/Pr_c)^0.25) от log (Gr^.Pr) .

По тангенсу угла наклона полученной прямой к оси абсцисс определяем показатель степени n = 0,246. А затем находим значение постоянной с по следующей зависимости с = Nu ^. (Pr/Pr_c)^0.25/ Gr^0.246.

Пример 2.2. Резервуар для сохранения сжиженного пропана представляет собой бетонный толстостенный сосуд с внутренним диаметром d_v = 6,0 м и толщиной стенки δ_c = 0,300 м. Начальная температура стенки Т_с = 283 К. Хранилище заполняется редким пропаном с температурой Т_п = 231 К. Предполагается, что через τ =10 часов на поверхности резервуара со стороны прилегающего грунта температура стенки достигнет значение Т_с1 = 273 К. Коэффициент теплоотдачи к сжиженному пропану в процессе теплообмена в резервуаре и в модели

α = 280 Вт/(м^{2 .} К). Коэффициент теплопроводности можно считать одинаковым для грунта и бетона λ = 1,28 Вт/ (г. К).

Определить параметры модели для натурных исследований процессов теплообмена в таких резервуарах методом математического моделирования, при которых температура на внешней поверхности модели резервуара со стороны грунта достигает значение Т_с1 = 273 К за τ _г = 1 ч.

Решение. Подобие полей температур в стенках резервуара и модели будет иметь место при равенстве чисел подобия Био Bi = Bi_м и Фурье Fo = Fo_м.

На основании равенства чисел Фурье для резервуара и модели можно записать: (a^. τ) / δ_c² = (a^. τ_г) / δ_cм²

или ______ _____

δ_cг = δ_c √ (τ_г / τ) = 0,3 √ (1/10) = 0,095 м.

Число Био для резервуара и модели в этом случае можно модифицировать, заменив коэффициент теплоотдачи от поверхности стенки к сжиженному пропану на коэффициент теплопередачи от грунта к сжиженному пропану через бетонную стенку. В таком случае равенство чисел Био для резервуара и модели будет иметь вид:

k ^. δ_c = k_м ^. δ_cм .

Произведение коэффициента теплопередачи через цилиндрическую стенку [3] на толщину стенки можно записать:

где d_v и d_n – внутренний и внешний диаметр резервуара (модели), м; d_b - диаметр цилиндрического пласта земли, на котором практически нет изме-нения температуры земли, м.

Для расчетов в пакете программ Mathcad введем следующие исходные данные задав значения внутреннего диаметра модели dn1 = 1,1

.

Значение комплекса k ^. δ_c для резервуара:

Значение комплекса k _м ^. δ_cм для модели:

Для выбора окончательных параметров модели построим графики зависимостей k ^. δ_c = f(d_b) и k_м ^. δ_cм = f(d_b1).

Рис. 2.2. Зависимость чисел Био для резервуара и модели.

Анализ результатов моделирования показывает, что обеспечить доста-точно близкие плотности теплового потока на модели можно в случае обес-печения одинаковых условий внешнего теплообмена в резервуаре и модели. Для этого необходимо иметь соотношение диаметров d_b/d_v = 1,6...1,8.

ЗАДАЧИ

Задача 2.1. В результате исследований теплообмена между водой и горизонтальной пластиной длиной l = 8 м при температуре жидкости вдали от пластины Т_ж = 303 К получили следующие экспериментальные данные (табл. 2.1).

Таблица 2.1.

№	w, м/с	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
1	α, Вт/( м2 . К)	500	980	1300	1700	2000
2	α, Вт/( м2 . К)	520	1000	1320	1730	2030
3	α, Вт/( м2 . К)	530	1010	1340	1745	2040
4	α, Вт/( м2 . К)	540	1035	1360	1770	2090
5	α, Вт/( м2 . К)	560	1060	1380	1790	2100
6	α, Вт/( м2 . К)	580	1085	1395	1810	2140

Рассчитать значения чисел Рейнольдса для заданного диапазона скоростей. На основании данных табл. 6.1. [2] определить режим течения жидкости и вид уравнения подобия для расчета среднего значения числа Нуссельта. Найти константу и показатель степени при числе Рейнольдса в избранном уравнении подобия.

Задача 2.2. На основе уравнения для расчета локальных значений чисел Нуссельта при свободном движении воздуха у нагретой вертикальной пластины Nu = 0,473 ^. (Gr ^. Pr)^0,25 определить значения этих чисел Нуссельта в следующих точках: x/l = 0,2; x/l =0,4; x/l = 0,6; x/l = 0,8 и x/l = 1,0. Исходные данные приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2.

№	l , г	Тв, К	Тж, К
1	0,4	293	373
2	0,6	293	393
3	0,8	293	413
4	0,4	303	413
5	0,6	303	393
6	0,8	303	373

Задача 2.3. Для снижения потерь тепла из помещения его стены облицовывают пенопластом. Определить необходимую толщину пенопласта для обеспечения коэффициента теплопередачи от воздуха внутри помещения к внешнему воздуху не большее к = 1 Вт/ (м^{2 .} К). Коэффициенты теплоотдачи внутри помещения α_в = 6 Вт/(м^{2 ,} К) и извне α_н = 15 Вт/(м^{2 .} К). Исходные данные для расчета приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3.

№	Материал стены	λ, Вт/(м . К)	Толщина стены l, м
1	Бетон	1,28	0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18
2	Кирпич красный	0,81	0,25; 0,375; 0,5; 0,625
3	Кирпич силикатный	0,86	0,25; 0,375; 0,5; 0,625
4	Песчаник	0,93	0,2 ; 0,4; 0,6
5	Камень «ракушняк»	0,63	0,2 ; 0,4; 0,6
6	Шлакобетон	0,70	0,2 ; 0,4; 0,6

Задача 2.4 При построении больших гидросооружений возникает необходимость в искусственном охлаждении плотин, так как теплота, которая выделяется, может привести к образованию трещин. При искусственном охлаждении плотин следует контролировать температуру в отдельных элементах плотины после заключения в них бетона через 2, 5, 10 и 27 часов. Температурное поле в одном из элементов плотины получают опытным путем на модели. Коэффициент теплоотдачи в модели в n раз выше, чем коэффициент теплоотдачи в натуральных условиях. Физические характеристики материала модели и натурального образца одинаковые. Определить размеры модели, а также промежутки времени, в течении которых следует измерять температуру в ней, если натуральный образец представляет собой параллелепипед с сторонами l1 х l2 х l3, м. Исходные данные для решения задачи 2.4. данные в табл. 2.4

Таблица 2.4.

№	L1	l2	l3	N
1	2,0	2,0	10	6
2	2,2	2,2	12	6
3	2,4	2,4	14	6
4	2,6	2,6	16	8
5	2,8	2,8	18	8
6	3,0	3,0	20	10