1. Интерполяция и экстраполяция баз
ДАННЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
Расчеты процессов теплообмена в энергетическом оборудовании требуют постоянного выбора значений физических свойств сред, которые принимают участие в процессе теплообмена. Как правило, эти величины зависят от температуры и давления среды. Постоянная работа с таблицами физических свойств сред и ручное введение выбранных значений усложняет работу с прикладными программами на ЭВМ. Это обосновывает целесообразность перевода табличных данных в форму, удобную к использованию в расчетах теплообменных процессов на ЭВМ. В Mathcad существуют несколько методов интерполяции и экстраполяции. Для большинства инженерных расчетов теплотехнических процессов наиболее наглядным методом, который обеспечивает достаточную точность расчетов, есть метод кубической сплайновой интерполяции - соединение точек с использованием кубических линий. Особенность кубической сплайновой интерполяции базы данных следующая - данные в столбцах матрицы должны располагаться в порядке возрастания.
Пример 1.1. Выполнить кубическую сплайновую интерполяцию физических свойств воздуха (коэффициент теплопроводности λ, кинема-тический коэффициент вязкости ν, число Прандтля Pr) в диапазоне температур Т = 273...313 К. Выполнить вычисления указанных параметров для значения температур воздух 283 и 323 К.
Решение.
Из табл. 2Д приложений пособия [2]
формируем матрицу базы данных физических
свойств воздух в следующем виде:
Каждый столбец
вышеприведенной матрицы представим
в виде векторов:
Определим векторы
коэффициентов кубического сплайна
рассмотренных физических величин:
Определяем функции для расчета интерполяционных значений:
Выполним проверку
правильности записи программы для
интерполяции физических свойств
воздуха. Для этого зададим, например,
значения температуры воздух внутри
рассмотренного диапазона ( Т1
= 283 К). Потом вычислим значения функций
Fk1(T1),
Fk2(T1)
и Fk3(T1)
для указанной температуры
Полученные результаты целиком совпадают с табличными данными.
Выполним проверку возможности экстраполяции. Для этого зададим значения температуры воздух за пределами рассмотренного диапазона температур. Например, пусть это значения температуры будет Т2 = 323 К. Потом вычислим значения функций Fk1(T2), Fk2(T2) и Fk3(T2) для указанной температуры:
Сравнивая значения с табличными данными (см. табл. 2Д [2] ) можно сделать вывод об удовлетворительной степени экстраполяции по данному методу.
ЗАДАЧИ
Задача 1.1. Выполнить кубическую сплайнову интерполяцию физических свойств вещества (плотность ρ, теплоемкость ср , динамический коэффициент вязкости μ ) в диапазоне температур Т приведенных в колонке 3 табл.1.1. Выполнить вычисления указанных физических свойств вещества для температур, указаных в табл. 1.1 ( колонки 4 и 5).
Таблица 1.1.
№ |
Вещество и источник базы данных его физических свойств |
Диапазон температур Т, К |
Значение температур для проверки Т, К |
|
интерполяция |
экстраполяция |
|||
1 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
223...313 |
253 |
343 |
2 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
313...393 |
343 |
423 |
3 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
393...523 |
433 |
573 |
4 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
523...723 |
573 |
823 |
5 |
Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2]) |
273...323 |
293 |
343 |
6 |
Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2]) |
323...373 |
353 |
393 |
7 |
Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2]) |
373...423 |
393 |
453 |
8 |
Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2]) |
423...523 |
433 |
553 |
9 |
Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2]) |
373...423 |
393 |
453 |
10 |
Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2]) |
423...523 |
483 |
643 |
11 |
Дымовые газы (табл. 5Д [2]) |
373...773 |
573 |
883 |
12 |
Дымовые газы (табл. 5Д [2]) |
773...1473 |
1273 |
1473 |
Задача 1.2. Выполнить кубическую сплайновою интерполяцию физических свойств веществ (коэффициент теплопроводности λ, кинематический коэффициент вязкости ν, число Прандтля Pr) в диапазоне температур Т, приведенных в колонке 3 табл. 1.2. Выполнить вычисления указанных физических свойств вещества для температур, обозначенных в табл. 1.2 (колонки 4 и 5).
Таблица 1.2.
№ |
Вещество и источник базы данных его физических свойств |
Диапазон температур Т, К |
Значение температур для проверки Т, К |
|
интерполяция |
экстраполяция |
|||
1 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
223...323 |
253 |
343 |
2 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
313...383 |
343 |
423 |
3 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
373...503 |
433 |
573 |
4 |
Воздух (табл. 2Д [2]) |
523...723 |
573 |
823 |
5 |
Вода на линии насы-щения (табл. 3Д [2]) |
273...333 |
293 |
343 |
6 |
Вода на линии насы-щения (табл. 3Д [2]) |
303...363 |
353 |
393 |
7 |
Вода на линии насы-щения (табл. 3Д [2]) |
343...423 |
393 |
453 |
8 |
Вода на линии насы-щения (талб. 3Д [2]) |
493...523 |
433 |
553 |
9 |
Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2]) |
373...443 |
393 |
453 |
10 |
Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2]) |
423... 523 |
483 |
643 |
11 |
Дымовые газы (табл. 5Д [2]) |
373...773 |
573 |
883 |
12 |
Дымовые гази (табл.5Д [2]) |
773...473 |
1273 |
1473 |