Задание 4 Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения:

Решение:

Исходное уравнение является уравнением теплопроводности. Решаем задачу с нулевыми краевыми условиями и начальными условиями (смешанная задача), для чего используем метод разделения переменных (метод Фурье).

Ищем ненулевое решение в виде

Разделяем переменные . Так как каждая дробь зависит только от одной переменной, то их равенство означает, что они постоянные:

Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Сначала решаем второе уравнение, которое должно удовлетворять краевым условиям так как

.

Это задача Штурма-Лиувилля: найти решение , удовлетворяющее уравнению и нулевым условиям

Сначала считаем, что . Тогда

.

Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля . Находим собственные функции так как Поскольку - произвольная постоянная, возьмем

Если взять , тогда

Так как то

Итак, получаем решение задачи Штурма-Лиувилля:

Для каждого значения решаем первое уравнение системы

Общее решение для первого уравнения имеет вид

где - произвольные постоянные. Таким образом, получено решение

для

Будем искать общее решение исходного уравнения в виде ряда:

Потребуем, чтобы оно удовлетворяло начальным условиям

Получаем

Соотношение представляет разложение функции в ряд Фурье по косинусам с периодом .

Ищем коэффициенты Фурье :

Итак, найдены коэффициенты Фурье

Окончательно получаем решение смешанной задачи:

Задание 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения (уравнения теплопроводности):

Решение:

Исходное уравнение решаем методом разделения переменных (метод Фурье). Ищем ненулевое решение в виде

Разделяем переменные

Так как каждая дробь зависит только от одной переменной, то их равенство означает, что они – постоянные (обозначим ее ):

Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Сначала решаем второе уравнение (с учетом преобразованного на языке граничного условия):

Получили задачу Штурма-Лиувилля.

Используем краевые условия для определения :

Так как (иначе функция станет тождественно равна нулю), то , а значит , и, следовательно, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: . Коэффициент является постоянной ненулевой величиной, т.е. имеем права принять ее за 1.

Находим собственные функции

Решаем второе уравнение:

где – произвольные постоянные.

Итак, функции удовлетворяют краевым условиям для .

Ищем общее решение в виде ряда

Потребуем выполнение начального условия

Полученное соотношение есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Ищем коэффициенты Фурье этого разложения при

Используя свойства ортогональности тригонометрической системы, получим, что , если , а если , то

Таким образом, частное решение получаем из бесконечного ряда, в котором все слагаемые равны нулю, кроме слагаемого с номером и коэффициентом :

.