6. Явление резонанса в строительстве

Важнейшую роль играет учет резонанса в строительстве. Будущим строителям дорог и мостов, например, важно знать, почему на мосту сбавляют скорость поезда. При уменьшении скорости поезда увеличивается период между ударами колес о стыки рельсов, и он становится больше периода собственных колебаний моста. В этом случае уменьшается возможность резонанса, т.е. становится меньше раскачка вагонов и их разрушающее воздействие на мост.

При строительстве зданий и сооружений, при проектировании машин и различных сооружений, которые подвергаются колебательным нагрузкам, приходится предусматривать возможные последствия резонанса. Несбалансированность работы двигателей и машин в зданиях может быть причиной возникновения резонанса. В результате резонанса вынужденные колебания могут быть настолько сильны, что они постепенно разрушат фундамент здания. Чтобы избежать резонанса или ослабить его действие производят расстройку периодов, увеличивают затухание колебаний демпфированием, выносят некоторые машины на отдельный фундамент.

Явление резонанса широко используется в строительстве в различных вибраторах и вибростендах. Вибраторы – это устройства с преднамеренным возбуждением механических колебаний (вибраций) для выполнения различных функций. Например, для уплотнения грунта и бетонной смеси, для погружения в грунт свай и труб, удаления окалины и продуктов коррозии с поверхностей деталей и др. На специальных вибрационных стендах испытывают строительные изделия на вибропрочность и виброустойчивость.

Есть способ понижения трения резонансным методом. При наложении к трущимся деталям нормальных вынужденных колебаний в резонансном режиме можно добиться резкого уменьшения трения.

6. Сложение гармонических колебаний одного направления

Если точка одновременно участвует в двух или нескольких колебаниях, то происходит сложение этих колебаний.

Рассмотрим два случая: сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой и происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.

А) Сложим гармонические колебания, происходящие по одной прямой с одинаковой частотой

(5.36)

где амплитуды их колебаний А₁ ≠ А₂ и начальные фазы φ₁ ≠ φ₂.

Результирующее смещение колеблющейся точки х равно алгебраической сумме х₁ и х₂

(5.37)

После соответствующих тригонометрических преобразований уравнение (5.37) можно привести к виду

(5.38)

где А – амплитуда,

φ – начальная фаза результирующего колебания.

Теперь сложим колебания (5.36) геометрически. Смещения х₁ и х₂ можно представить как проекции вращающихся векторов и с одинаковой угловой скоростью ω.

Рис.5.11.

Результирующее колебание представляется в виде проекции вектора , вращающегося с той же угловой скоростью ω, и согласуется с уравнением (5.38) (рис.5.11). , , – углы, определяющие векторы , и . Угол между векторами и равен (5.39) В момент времени t = 0 углы, определяющие векторы , и соответственно равны φ1, φ2 и φ .

Тогда

(5.40)

Из ∆ОВД можно определить модуль вектора

(5.41)

Из рис.5.11 нетрудно показать, что α = 180° – (φ₂ – φ₂).

Так как

то

(5.42)

Из уравнения (5.42) видно, что результирующее колебание зависит от начальных условий (от разности фаз (φ₂ – φ₁)).

Если φ₂ – φ₁ = 2kπ (k = 0, 1, 2, …), то (5.43) примет вид

и A = A₁ + A₂,

т.е. при синфазных колебаниях амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний.

Если φ₂ – φ₁ = (2k + 1)π (k = 0, 1, 2, …), то cos(2k + 1)π  = -1 и (5.42) принимает вид

А = |А₁ - А₂| ,

т.е. при противофазных колебаниях амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний.

Б) Рассмотрим сложение колебаний происходящих по одному направлению с одинаковыми фазами, с разными частотами ω₁ и ω₂, но мало отличающимися друг от друга

(5.43)

Для упрощения допустим, что амплитуды колебаний одинаковы А₁= А₂ =А₀ и начальная фаза равна нулю (φ = 0)

(5.44)

Результирующее смещение х равно

(5.45)

Выражение (5.45) представляет собой произведение двух колебаний с циклическими частотами и . Учитывая, что << , результирующее колебания приближенно можно считать гармоническим.

Амплитуда хоть и медленно, но изменяется со временем. На рис.5.12 изображен график функции (5.45) и на нем видно, что амплитуда то увеличивается, то уменьшается. Гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой называется биением.

Величина называется циклической частотой биения, а – период биения.

Рис.5.12

Метод биений широко используется на практике. Этот метод используется для определения частоты тона для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.