47

Курс лекций по физике. Часть I: Механика

Лекция 5. Механические колебания План лекции

1. Основные характеристики колебательного движения.

2. Кинетическая, потенциальная и полная энергии гармонических колебаний.

3. Уравнение гармонических колебаний. Маятники.

4. Затухание колебания.

5. Вынужденные колебания. Резонанс.

5.6. Явление резонанса в строительстве.

5.1. Основные характеристики колебательного движения

Процессы точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени называются колебаниями. В зависимости от физической природы различают механические, электромагнитные и другие виды колебаний. Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются одни и те же физические закономерности, они описываются одними и теми же математическими уравнениями и исследуются общими методами, разработка и применение которых составляют задачу теории колебаний.

В данном курсе физики мы будем изучать два наиболее распространенных класса колебаний: механические и электрические.

Среди разнообразных колебаний основную и существенную роль играют так называемые гармонические колебания, то есть такие, при которых колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим гармонические колебания на примере колеблющейся точки.

Пусть точка вращается по окружности радиуса А с угловой скоростью ω₀ (рис.5.1).

Рис.5.1.

Если точку спроецировать на оси X и Y, то ее проекции будут совершать колебания и удовлетворяют следующим уравнениям соответственно

, (5.1)

где, φ= ω₀t + φ₀ – фаза колебаний

Тогда

и (5.2)

где х и y – смещения колеблющейся точки от положения равновесия;

А – амплитуда колебания (максимальное смещение);

φ₀ – начальная фаза (при t = 0);

ω₀ – круговая (циклическая) частота колебаний.

Точка совершает одно полное колебание за время Τ, называемое периодом колебания. Частота колебаний ν (число колебаний в единицу времени) есть . Между указанными величинами существует взаимосвязь

(5.3)

Геометрический смысл параметров уравнений (5.2) можно объяснить с помощью векторных диаграмм. Выберем на оси Х точку О и из этой точки под углом φ₀ проведем вектор А. Будем вращать вектор А с угловой скоростью ω₀ и тогда его проекция на ось будет смещаться на величину x (рис. 5.2).

Рис.5.2.

Колеблющаяся точка обладает скоростью и ускорением. Скорость материальной точки

(5.4)

Ускорение материальной точки

(5.5)

С учетом формулы (5.2) получим

(5.6)

Сравнивая уравнения (5.2), (5.4) и (5.5) замечаем, что скорость опережает смещение на π/2. Фазы ускорения и смещения различаются на π (изменяются в противофазе). Графические зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис.5.3.

Умножив обе части равенства уравнения (5.6) на массу m материальной точки получим

(5.7)

Используя II закон Ньютона, получаем

(5.8)

Рис.5.3.

Таким образом, чтобы совершались гармонические колебания на материальную точку должна действовать сила F, пропорциональная смещению x, которая возвращает ее в положение равновесия

(5.9)

где, k – некоторый коэффициент (зависящий от свойств колеблющейся системы) и называемой жесткостью.

Из уравнения (5.7) и (5.8) видно, что .