Векторна алгебра Вектори. Лінійні операції над векторами
Визначення
Вектором називається величина, яка характеризується як числовим значенням, так і напрямом у просторі.
Числове значення вектора зветься довжиною або модулем вектора.
Звичайно
вектор позначають однією
або двома латинськими літерами зі
стрілкою
,
або жирними літерами.
,
точка
– початок вектора, точка
– його кінець.
Модулем або довжиною
вектора
називається число
,
яке дорівнює довжині відрізку
.
В фізиці часто модулі векторів позначають
відповідними літерами без стрілки:
Визначення
Одиничним
вектором
або ортом
даного вектора
називається вектор, довжина якого
дорівнює одиниці довжини (при даному
масштабі), а напрям збігається з напрямом
,
тобто
або
Орти
осей декартових координат позначаються
та
.
Визначення
Проекцією
вектора
на вісь
називається довжина відрізка, який
з’єднує проекції на цю вісь початку й
кінця даного вектора, взята зі знаком
“+”, якщо кут між вектором і віссю
гострий, і знаком “–”, якщо цей кут
тупий.
Із
вище наведеного рисунку ясно, що
Будемо
у подальшому позначати проекції вектора
на координатні осі
відповідно
та
Вектор можна задати цими проекціями,
які називаються координатами вектора,
,
або розкладанням за координатним базисом
Визначення
Вектори
і
називаються колінеарними
,
якщо вони лежать на паралельних прямих
або на прямих, які збігаються.
Умова
колінеарності двох векторів
та
рівносильна умові їх пропорційності
,
тобто або
,
або обидві відповідні координати цих
векторів одночасно дорівнюють нулю.
Приклад
Обчислити
координати вектора
,
якщо відомі координати точок його
початку та кінця:
та
.
Розв’язання
Тому
.
Відповідь:
.
При додаванні, відніманні та множенні вектора на число відповідно додаються, віднімаються та множаться на це число одноіменні координати.
Приклад
Обчислити
суму та різницю двох векторів
та
.
Розв’язання
Відповідь:
Приклад
Обчислити
добутки вектора
на числа
та
Розв’язання
,
Відповідь:
Розрізняють два види добутків двох векторів: скалярний та векторний.
Скалярний добуток
Визначення
Скалярним добутком двох векторів та називається число, яке дорівнює добутку модулів співмножників на косинус кута між ними:
Використовуючи визначення проекції вектора, скалярний добуток можна записати так:
За допомогою скалярного добутку можна обчислити:
а) косинус кута між двома векторами
б) довжину вектора
в) проекцію одного вектора на напрям іншого
Якщо
вектори
та
взаємно перпендикулярні
,
їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Використовуючи це, можна довести, що
скалярний добуток
та
дорівнює
Звідси
маємо ознаку перпендикулярності векторів
і
,
заданих координатами
.
Приклад
Обчислити
внутрішній кут при вершині
трикутника
,
якщо відомі його вершини: (3;
2; -3), (5;
1; -1), та С(1;
-2; 1).
Розв’язання
Внутрішній кут
при вершині А утворюється двома векторами
та
.
Обчислимо їх координати:
.
Їх
модулі:
Скалярний добуток
тоді
,
.
Відповідь:
.
Визначення
Напрямними
косинусами вектора
називають косинуси кутів між вектором
і координатними осями, тобто
де
Якщо
,
тоді
,
причому,
, причому,
Приклад
Обчислити
напрямні косинуси вектора
.
Розв’язання
Перевіримо що
Відповідь:
