1.1.1 Біртекті жүйесінің шешімдерінің негізігі қасиеттері
Біздің нақты тапсырмамыз (1.5) жүйені шешу жолдарын қарастыру. Бірақ бұл тапсырманы шешу үшін, n-ші ретті біртекті сызықтық теңдеу сияқты, кейде бірінші кейбір комплекстік шешімдерін табу ыңғайлылырақ. (1.5) Біртекті жүйенің комплекстік шешімі туралы ұғым енгізейік.
Комплекстік функцияның қосындысын нақты ауыспалыдан қарастырайық
=
+
(1.9)
Мұндағы
(k
)
нақты
ауыспалыдан нақты функция болып табылады.
(1.9)
функцияның жиынтығын (a,b) аралығында
біртекті жүйенің (1.5) комплекстік шешімі
деп атаймыз, егер бұл функциялар a
тепе-теңдігі үшін барлық жүйелердің
теңдіктерін қарастырса, яғни
(k
)
немесе
+
I
+
I
(1.10)
(k
).
Екі комплекс сандар өрісі бір-бірінің арасында өзара тең, тек сәйкесінше нақты және жорамал бөліктері тең болса. Олай болса, (1.10) тепе-теңдікте нақты және жорамал бөліктерін теңестіріп көреміз, егер (1.5) жүйе (1.9) комплекстік шешімге ие болса, онда оның екі нақты шешімі болады
(Ʀ ) ,
(Ʀ
)
,
яғни функцияның нақты және жорамал бөліктері (1.5) біртекті сызықтық жүйенің (1.9)комплекстік шешімін құрушы, осы жүйеге екі нақты шешім құрады.
Біртекті сызықтық жүйенің шешімі (1.5) келесі қасиеттерге ие болады, n-ші ретті біртекті сызықтық теңдеуді ұқсастық қасиеттерімен шешу.
Егер
(k
)
(1.11)
(2) біртекті сызықтық жүйенің шешімі бар, онда
(k
)
,
(1.12)
Мұндағы C – тұрақты сан, ол да осы жүйенің шешімі болады, біртекті сызықтық жүйелердің шешімін құрушы, тұрақты біреуіне барлық функцияларды көбейтіп,біз тағыда шешімін аламыз.
Шынымен, (1.12) функцияны (1.5) жүйеге қойып,
(
)ʼ
C
(
)
(1.13)
аламыз.
С-ға қысқартып, біз тепе-теңдік аламыз, (1.11) функция (1.5) жүйенің шешімі болғандықтан. Сондықтан (1.13) теңдік тепе-тең орындалады, дәлелдеу керегі де осы еді.
(1.5) жүйенің шешімі m болсын
(
k
)
,
(
k
)
,
. . . . . . . . . . (1.14)
(
k
)
.
Мұндағы бірінші индекс шешімнің номерін білдіреді, ал екіншісі – функцияның номері.
Дәлелдейік, шешімнің (1.14) сызықтық тәсілі кез-келген тұрақты коэфициенттерімен
,
,
… ,
,
яғни
функцияның жиыны
(
k
)
(1.15)
бұл да (1.5) жүйенің шешімі болады.
Шыныменде, (1.15)-і (1.5)-ге қойып, мынаны аламыз
(
) ʼ
(
) ( k
)
(1.16)
немесе
ʼ
) (
k
).
(1.17)
Тепе-теңдік орынға ие болғандықтан
ʼ
( k
),
(1.18)
(2)
жүйеге
-нің
шешімін қойған, нәтижесі (14) теңдік болып
табылады, сәйкесінше, (13) теңдік те
тепе-тең орындалады, біздің дәлелдеу
керегіміз де осы еді.
Енді бізге (2) біртекті жүйедегі n-нің жеке шешімі белгілі екенін болжайық. Басты сұрақ қойайық: қандай жағдайда сызықтық әрекет осылардың шешімдерінің негізсіз тұрақты коэфициенттерімен , , … , біртекті жүйенің жалпы шешімін береді.
Қойылған сұраққа жауап беру үшін, сызықты тәуелсіз жүйенің функциясы ұғымын енгіземіз.