Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық

университеті

Нұржұмаева Тоғжан Оразгазықызы

«Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың матрицалық-векторлық тәсілі туралы»

Дипломдық жұмыс

«5В010900»-«Математика»

Алматы 2015

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық

университеті

«Қорғауға жіберілді»

Фундаментальды және Қолданбалы математика

Кафедрасының меңгерушісі

дф-м н.д. профессор _____________________ Алдашев С.А

Дипломдық жұмыс

Тақырыбы: «Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың матрицалық-векторлық тәсілі туралы»

«5В010900»-«Математика»

Орындаған: Нұржұмаева Т

Ғылыми жетекші:

Алматы 2015

МАЗМҰНЫ:

КІРІСПЕ….............................................................................................................

I.Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі

1.1 Біртекті сызықты теңдеулер жүйесі

1.1.1 Біртекті жүйесінің шешімдерінің негізгі қасиеттері

1.1.2 Остроградский – Лиувилль– Якоби формуласы

1.1.3 Жалпы шешімін құру

1.2 Біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі

1.2.1 Біртекті емес жүйенің ортақ шешімінің құрылымы

1.2.2 Тұрақты ерік түрлендіру әдісі

II. Біртекті сызықты жүйелерді матрицалық әдіспен интегралдау

2.1 Біртекті сызықтық жүйені матрицалық түрде интегралдау және жазылуы

2.1.1 Матрицалық теңдеудің біртекті сызықты жүйеге қатысты екі ортақ

қасиеті

2.1.2 Интегралды матрицаның негізгі қасиеттері

2.1.3 Лаппо – Данилевский жағдайы

2.2 Тұрақты коэфициенттері бар біртекті сызықтық жүйені интегралдау

2.2.1 Дифференциалдық теңдеулердің тұрақты коэфициенттерімен

біртекті сызықтық жүйенің шешімдерінің фундаментальді жүйесінің

құрылымы

2.2.2 Біртекті сызықтық жүйені тұрақты коэфициенттерімен канондық түрге

келтіру

2.3 Сызықты жүйелерді матрицалық-векторлық әдіспен интегралдау

2.3.1 Сызықты жүйенің матрицалық-векторлық түрде жазылуы мен шешімі.

Коши есебі.

2.3.2 Біртекті матрицалық-векторлық теңдеуді шешудің негізгі қасиеттері

2.3.3 Біртекті емес сызықты жүйе үшін Коши формуласы

ҚОРЫТЫНДЫ........................................................................................................

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР.........................................................................

ҚОСЫМШАЛАР....................................................................................................

КІРІСПЕ

Дифференциалдық теңдеулер курсына арналған бұл «Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың матрицалық-векторлық тәсілі туралы» атты ғылыми жұмысты жоғары оқу орнындарында оқитын математика, физика және информатика мамандығының қазақ жастарының студенттері пайдалануға болады. Бұл жұмыстың әр тарауында теорияны игеру мақсатында көптеген мысалдар мен есептер шығарылған.

Дифференциалдық теңдеулер курсы студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болсын болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар ролі аса зор.

Дифференциалдық теңдеулер пәні ғылыми зерттеу және қолданбалы матемикада көптен пайданылып, бұл пен математикалық анализ, сызықты алгебра және аналитикалық геометрия негізінде құрылады.

“Дифференциалдық теңдеулер” пәнін оқытудың мақсаты– студенттердың жай дифференциалдық теңдеулер теориясының негізі бойынша терең білімдерін қалыптастыру, жаратылыстанудың әр-түрлі облыстарындағы кездесетін дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерді шешуге және зерттеуге алған білімдерін қолдануға уйрету.

“Дифференциалдық теңдеулер” пәні жай дифференциалдық теңдеулердің және бірінші ретті дербес туындылы теңдеулердің шешімдерін табуға, оларды зерттеуге арналған.

Жоғары математиканы кей уақытта айнымалы шамалар математикасы деп те айтады.

Айнымалы шамалар математикасындағы келесі шешуші адым XVII ғасырдың екінші жартысында (дал айтқанда, май 1684 ж.) дифференциалдық және интегралдық есептеулердің «дүниеге келуі» болды. Мұны математакалық анализдің немесе шексіз аздар анализінің тууы деп есептейді.

Дифференциалдық және интегралдық есептеулердің тууына себепші болған физика мен геометрияның келесі есептері: жазықтыкта немесе кеңістікте қозғалушы материалды нүктенің кез келген уақыттың ішіндегі жылдамдығын табу, жазықтықта жатқан қисық сызықтың берілген нүктесінде оған жанама жүргізу, фигуралардың аудандарын және денелердің көлемдерін табу керек.

Жаратылыстану ғылымдары мәселелерін қандай жаңа әдіспен сипаттауға болады деген сұраққа XVII—XVIII ғасырлардағы математиктер: — егер бұл ғылымдардың кез келген мәселелері дұрыс математикалық сипаттауға келтірілетін болса, онда олардың шешуін аналитикалық геометрия, дифференцияалдық және интегралдық есептеудің көмегімен табуға болады, — деп жауап берді. Бірақ ғалымдардың бұл пікірлері.тура келмеді, өйткені жаратылыстану ғылымдары мен техниканың жаңағы салалардың әлі келмейтін күрделі мәлелелері бірте-бірте кездесе берді. Осындай күрделі мәселелерді шешудің арқасында математикалық анализдің мынадай салалары: дифференциалдық теңдеулер, вариациялық есептеу, интегралдық теңдеулер, комплекс айнымалылар функцияларының теориясы, функционалдық анализ, ықтималдық теориясы атты тағы да басқа салалары пайда болды.

Дифференциалдық теңдеулер теориясы — математикалық анализдің ең маңызды және жаратылыстану ғылымдары (физика, астрономия, механика т. б.) мен техниканың мәселелерін шешуде ерекше орын алатын саласы болып табылады. Дифференциалдық теңдеу бір шаманың екінші бір шамаларға тәуелділік заңын береді. Бұл теңдеулердегі белгісіздер бір айнымалы немесе екі, үш және онан да көп айнымалы шамалардың функциялары болып табылады.

Механикада қозғалушы дененің қозғалыс заңын табу, гидродинамикада, ағатын сұйық зат жылдамдығының оның бүкіл массасына таралу заңын, яғни жылдамдықтың сүйық зат нүктелері мен уақытқа тәуелділігін табу, физикада электр мен магнетизм өрісінің кернеуін бүкіл кеңістікте табу негізгі басты мәселелер болып табылады, өйткені техникалық мәселелердің көпшілігінің шешілуі осы мәселелерге келіп тіреледі. Мәселен, сүңгуір қайықтың су астында, кемелердің, теңіз беттерінде жүзіп жүруі, снарядтардың, самолеттердің әуеде ұшуы қатты денелердің сүйық зат ішіндегі қозғалысына мысалдар бола алады. Бұлардың құрылыстары және жобаланулары математикалық әдісті, былайша айтқанда дифференциалдық теңдеулер теориясын қолдануды талап етеді.

Тақырыптың өзектілігі:

Математика курстарын оқытуда оқу процесінде дифференциялдық теңдеулер пәнінде қарастырылатын сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың матрицалық-векторлық тәсілін қарастыра отырып, математиканы тереңдетіп оқытатын мектептер мен жоғары математиканы өткенде қолдану.

Ғылыми жаңашылдығы:

Бұл дипломдық жобаның жаңалығы- математика курсында оқытылатын теңдеудің жоғары математикада алатын орнын, әсіресе сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуда кеңінен қолданысын қарастыру.

Жұмыстың практикалық маңыздылығы:

Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың матрицалық-векторлық тәсілінде теорияда алған білімін практикада жүзеге асыру.

Қазіргі ахуалы:

Студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар маңызы зор.

Диплом жұмыстың мақсаты:

Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігін зерттеу, пәнді оқытуда бірінші, біртекті және сызықты диференциалдық теңдеулер және оларға келтірілетін теңдеулерді шешуді үйрету, математика курсында оқу процесінде пәнаралық байланыстар орнату, теорияда алған білімдерін практикада жүзеге асыру, ұқыптылыққа тәрбиелеу және ойлау қабілеттерін дамыту болып табылады.

Дипломдық жұмыстың міндеттері:

• сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігін анықтау

• бірінші, біртекті және сызықты диференциалдық теңдеулер және оларға келтірілетін теңдеулерді қарастыру

• математика курсында оқу процесінде пәнаралық байланыстарды ұйымдастыру

• сызықтық теңдеулерді шешуде теорияда алған білімдерін практикада іске асыру.

Зерттелу обьектісі:

Жоғары оқу орындарында математика курсында оқытылатын дифференциалдық теңдеулердің шығу тарихы, дифференциалдық теңдеулердің негізі ұғымдары арқылы дифференциалдық теңдеулерді шешуде тиімді жолдарын есептер шығаруда қолдану, математиканың және физика пәндерімен өзара байланысты арттыру, сызықтық дифференциал теңдеулер ұғымы, коэффициенттері тұрақты біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешу жолдарын зерттеу болып табылады

Теориялық және әдістемелік негізі:

Кіріспе, 2 тараудан, қорытындыдан, қолданылған әдебиеттер және аннотациядан тұрады. Кіріспеде дипломдық жұмыстың мақсаты, практикалық маңыздылығы, тақырыптың өзектілігі көрсетілген. 1 тарауда дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлі тәсілдерінің теориялары қарастырылды. 2 тарауда біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешу жолдары,тәсілдері қарастырылып, есеп шығару жолдары көрсетілді

Практикалық базасы: