10.5. Чисто неявные методы

Для решения жестких уравнений разработаны чисто неявные разностные методы, которые описываются формулой:

. (10.12)

Ранее была найдена система уравнений для коэффициентов линейного m-шагового разностного метода общего вида:

,

где p – порядок метода. Для чисто неявных методов в этой системе остаются только следующие уравнения:

, (10.13)

. (10.14)

Имеем уравнений и неизвестных, отсюда следует, что наивысший достижимый порядок чисто неявного m-шагового метода равен m. Система уравнений для коэффициентов (для метода наивысшего порядка) имеет вид:

(10.15)

К этим уравнениям добавляется уравнение (10.14) для нахождения .

При чисто неявный метод совпадает с неявным методом Эйлера.

Пример 10.11. Построим чисто неявный двухшаговый метод. Система уравнений:

Решив систему, находим . Получаем метод второго порядка:

. (10.16)

Пример 10.12. Построим чисто неявный метод третьего порядка. Решив систему уравнений

получим: . Таким образом, чисто неявный трехшаговый метод можно описать следующей формулой:

. (10.17)

Аналогично можно вывести формулу для четырехшагового чисто неявного метода:

. (10.18)

Рассмотрим область устойчивости метода второго порядка (10.16). Применение метода к тестовому уравнению (10.9) ( ) дает:

, где .

Соответственно, имеем характеристическое уравнение:

.

Нам нужно найти множество точек комплексной плоскости , для которых оба корня характеристического уравнения не превосходят по модулю единицу. Из характеристического уравнения следует:

.

На границе области устойчивости , т.е. и . При изменении от 0 до точка описывает замкнутую кривую, симметричную относительно оси действительных чисел. Область, внешняя по отношению к этой кривой, представляет собой область устойчивости метода. Заменим: , ,

. Получим: . Отсюда следует, что кривая целиком расположена в правой полуплоскости ( ). Область устойчивости содержит левую полуплоскость, и метод является А-устойчивым. Область устойчивости можно увидеть на вставке рис. 10.12.

Найдем область устойчивости трехшагового метода (10.17). Аналогично предыдущему, применив метод к модельному уравнению (10.9), придем к характеристическому уравнению:

.

Так же как раньше, заменив , получим после преобразований:

, где . (10.19)

Область устойчивости трехшагового метода также показана на рис. 10.12. Границы области немного заходят в левую полуплоскость, так что метод является А()-устойчивым. Найдем значение . Для этого нужно найти угол между отрицательной полуосью и линией, проходящей через начало координат и являющейся касательной к границе области устойчивости. Для проходящей через начало координат касательной к кривой выполняется равенство: . В нашем случае кривая задана параметрически, так что в точке касания

. (10.20)

Продифференцировав действительную и мнимую части выражения (10.19) и подставив все в формулу (10.20), получим координату точки касания . Отсюда

и

Аналогично можно найти область устойчивости метода 4-го порядка (10.18). Эту область также показана на рис. 10.12. Метод является А()-устойчивым, и

Вопросы для повторения.

1. Какие процессы описывают «жесткие» дифференциальные уравнения?

2. Как при решении «жестких» дифференциальных уравнений следует выбирать шаг приращения аргумента?

3. В чем состоят понятия абсолютно устойчивого и условно устойчивого метода решения дифференциального уравнения?

4. Какие методы решения дифференциального уравнения являются абсолютно устойчивыми?

5. Что называется областью устойчивости метода решения дифференциального уравнения?

6. Какие методы решения дифференциальных уравнений называются чисто неявными?

7. Какая система уравнений определяет коэффициенты чисто неявных методов?