Вычисление корреляции при количественных измерениях.

Для оценки взаимосвязи, когда измерения производят в шкале отношений или интервалов и форма взаимосвязи линейная, использу­ется коэффициент корреляции Бравэ – Пирсона. Обозначается он латинской буквой r. Вычисление значения r чаще всего производят по формуле:

r = ,

где и – средние арифметические значения показателей х и у.

Например, студенты первого курса, были подвергнуты испытаниям в следующих контрольных упражнениях (тестах): беге с ходу на дистанции 30 м (результат в секундах обозначим x) и тройном прыжке с места (результат в метрах обозначим y). Всего в испытаниях участвовало 10 человек. Резуль­таты испытаний и промежуточных вычислений представлены в таблице 3.

1. Вычислить и . Суммы результатов столбцов 1 и 2 разделить на п.

= = = 3,7; = = = 7,33

2. Вычислить (x– ) – столбец 3 и (y– ) – столбец 4.

3. Вычислить произведения (x– )(y– ) и их сумму – столбец 5.

4. Вычислить сумму квадратов разностей ∑(x– )² – столбец 6 и ∑(y– )² – столбец 7 (значения столбцов 3 и 4 возвести в квадрат и получившиеся результаты просуммировать).

5. Вычислить r. Подставить полученные значения в формулу:

r = = = = = – 0,75.

Таблица 3

Расчет коэффициента корреляции Бравэ – Пирсона

№ п/п	№ столбца
	1	2	3	4	5	6	7
	Обозначения
	X	Y	(x– )	(y– )	(x– )(y– )	(x– )2	(y– )2
1	3,5	8,05	–0,2	0,72	–0,144	0,04	0,5184
2	3,6	7,34	–0,1	0,01	–0,001	0,01	0,0001
3	3,6	7,37	–0,1	0,04	–0,004	0,01	0,0016
4	3,6	7,77	–0,1	0,44	–0,044	0,01	0,1936
5	3,8	7,04	0,1	–0,29	–0,029	0,01	0,0841
6	3,7	7,17	0	–0,16	0	0	0,0256
7	3,9	6,50	0,2	–0,83	–0,166	0,04	0,6889
8	3,4	8,15	–0,3	0,82	–0,246	0,09	0,6724
9	3,6	6,98	–0,1	–0,35	0,035	0,01	0,1225
10	3,6	6,97	–0,1	–0,36	0,036	0,01	0,1296
Сумма	36,8	73,34			–0,563	0,23	2,4368

Таким образом, между результатами в беге на дистанцию 30 м с ходу и результатами в тройном прыжке с места выявлена отрицательная сильная статистическая взаимозависимость. Теперь определим достоверность полученного значения коэффициента, для чего сравним его с критическим значением по специальной таблице. Если полученное значение коэффициента корреляции превосходит табличное значение при заданном уровне значимости (r > r_крит), то наличие отрицательной связи между результатом в беге на 30 м и тройном прыжке с места можно считать достоверным и наоборот. По таблице (приложение 6) находим критическое значение при n=10. Это значение равно 0,632, следовательно, мы имеем неравенство r > r_крит (0,75>0,632), поэтому проявление сильной отрицательной связи достоверно (r = – 0,75 при Р < 0,05). Это значит, что улучшение результата (уменьшение времени) в беге связано с улучшением (повышением) результата в тройном прыжке.

Когда требуется выяснить, насколько изменится один признак при изменении другого, например длина прыжка в длину в зависимости от увеличения взрывной силы мышц ног, используется регрессионный анализ.

В некоторых случаях тесноту взаимосвязи определяют на основании коэффициента детерминации (D), который вычисляют по формуле:

D = r² ∙ 100%

Этот коэффициент определяет часть общей вариации одного пока­зателя, которая объясняется вариа­цией другого показателя. Так, для вычисленного значения r = – 0,75 коэффициент детерминации опреде­лится как:

D = (–0,75)² ∙ 100% = 56,2%.

Следовательно, только 56,2% взаимосвязи спортивного результата в беге на 30м и в тройном прыжке объясняется их взаимовлиянием. Остальная часть – 43,8% (100% – 56,2% = 43,8%) вариации объясняется влиянием других неучтенных факторов.