3. Взаимосвязь результатов измерений

В исследованиях между изучаемыми показателями часто обнаруживается взаимосвязь. Изучению взаимосвязи между различными показа­телями уделяют большое внимание, поскольку это позволяет вскрыть некоторые закономерности и в даль­нейшем описать их как словесно, так и математически с целью использования в практической работе (например, как влияет сила на результат метания).

Такого рода связи и зависимости называют корреляционными или просто корреляцией. Корреляция заключается в том, что средняя величина одного показателя изменяется в зависимости от значения другого. Статистический метод, используемый для исследования взаимосвязей, называется корреляционным анализом. Основной задачей его является определение формы, тесноты и направленности изучаемых показателей. По направлению корреляция бывает положительной (прямой) или отрицательной (обратной), а по форме — линейной и нелинейной. При положительной корреляции с возрастанием признаков одного фактора они увеличиваются и у другого. При отрицательной корреляции наоборот – при увеличении признаков одного фактора признаки другого уменьшаются. Корреляция называется линейной, когда направление связи между изучаемыми признаками графически и аналитически выражается прямой линией. Если же корреляционная зависимость имеет иное направление, она называется нелинейной. Анализ линейной корреляции осуществляется с помощью вычисления коэффициентов корреля­ции (r). Для измерения нелинейной, зависимости используется показатель, называемый корреляционным отношением. Направленность зависимости отражается в знаке коэффициента корреляции. Знак «+» (плюс) указывает на прямую пропорциональную, или положительную взаимосвязь; знак «–» (минус) говорит об обратной, или отрицательной взаимосвязи.

Величина коэффициента корреляции может колебаться от –1 до +1. Если коэффициент корреляции находится в пределах 0,99–0,7, связь считается сильная, при коэффициенте 0,69–0,5 – средняя, при значениях 0,49–0,2 – слабая, и при коэффициенте корреляции меньше 0,19 – очень слабая взаимосвязь.

Для изучения меры связи при линейной корреляции в зави­симости от того, по какой шкале произведены измерения, вы­числяется тот или иной вид коэффициента.

Вычисление значения коэффициента взаимосвязи – механическая процедура счета. Однако ей должны предшествовать некоторые вопросы, на которые необходимо ответить. Эти вопросы относятся к изучаемым показателям и формулируются следующим образом: в какой шкале измеряется изучаемый показатель? Как много измерений этого показателя выполнено? Можно ли считать ряд измерений показателя выборкой, имеющей нормальный закон распределения? и др.

Вычисление рангового коэффициента корреляции

Определение взаимосвязи показателей, измеренных в шкале порядка, производят с использованием ранговых коэффициентов корреляции. Один из них – ранговым коэффициентом корреляции Спирмэна («ро» – ρ). Его вычисляют по формуле:

ρ = 1 – ,

где d = d_x – d_y – разность рангов данной пары показателей X и Y, n – объем выборки (число испытуемых).

Рассмотрим для примера оценку взаимосвязи показателей: Х – место, занятое в прыжках в длину с места; Y – место, занятое в беге на 60 м.

Порядок вычисления рангового коэффициента корреляции Спирмэна (р) будет следующим (табл. 2):

1. Проранжировать (упорядочить и приписать порядковые номера) показатели Х и Y.

2. По каждому признаку поставить ранговые числа. При этом когда попадаются одинаковые значения, например 9, 4, 3 по признаку Y, в этом случае общим для обоих значений будет среднеарифметический ранг (2,5; 7,5; 9,5)

3. Вычислить разность рангов (d = d_x – d_y) с сохранением соответствующего знака.

4. Возвести разность рангов в квадрат.

5. Вычислить сумму квадратов разности.

6. Вычислить значение ρ по формуле:

ρ = 1 – = 1– = 1 – 0,154 = 0,846

Таблица 2

Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмэна

№ п/п	1	2	3	4	5	6
	X	Y	dx	dy	dx – dy	(dx – dy)2
1	1	9	1	2,5	–1,5	2,25
2	2	10	2	1	1	1
3	3	8	3	4	–1	1
4	4	7	4	5	–1	1
5	5	9	5	2,5	2,5	6,25
6	6	4	6	7,5	–1,5	2,25
7	7	4	7	7,5	–0,5	0,25
8	8	3	8	9,5	1,5	2,25
9	9	5	9	6	3	9
10	10	3	10	9,5	0,5	0,25
Сумма						25,5

Значение р = 0,846 характеризует сильную положительную взаимосвязь. Другими словами, «взрывная» сила мышц, достаточно сильно определяет результат в беге на 60 м.

Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна изменяется в пределах от –1 до +1. Достоинством ранговых коэффициентов корреляции является простота вычисления. Поэтому ими следует пользоваться для быстрой оценки взаимосвязи, когда показатели или признаки не могут быть измерены точно, но могут быть ранжированы. Однако необходимо проверить, насколько достоверно значение рассчитанного нами коэффициента корреляции. Для этого необходимо сравнить его с критическим значением. Если вычисленный коэффициент ранговой корреляции превышает значение критического (ρ_фак > ρ_крит), то наличие связи считается достоверным, и наоборот. По таблице (приложение 5), в которой приведены критические значения ρ для различных чисел парных наблюдений (n) и уровней значимости (Р = 0,05 и Р = 0,01), находим критическое значение для n = 10. Оно равно 0,564 при уровне значимости 0,05 и 0,746 – при уровне значимости 0,01. В нашем случае вычисленный коэффициент равен 0,846, превышая критическое значение при уровне значимости 0,01. Следовательно, проявление связи между «взрывной» силой мышц ног и результатом в беге на 60 м можно считать достоверной (ρ = 0,846 при Р < 0,01).