11. Контактные схемы. Минимизация
Задача 1. Упростите контактные схемы, используя равносильные преобразования.
1) 2)
3) 4)
Задача 2. Постройте СДНФ по карте Карно и упростите ее до ДНФ.
Задача 3. Минимизируйте ДНФ и КНФ по карте Карно.
1) 2)
3) 4)
Задача 4. Минимизируйте ДНФ и КНФ для неполностью определенных переключательных функций.
1) 2)
Задача 5.
Запишите число
и, добавив недостающие слева нули,
получите векторное задание функции
.
1). Постройте для
этой функции а) таблицу, б) множество
,
в) карту Карно.
2). Найдите СДНФ, СКНФ, минимальные ДНФ и КНФ.
3). Постройте наиболее простую контактную схему, реализующую эту функцию.
Дополнительные задачи
1. Требуется, чтобы включение света в комнате осуществлялось с помощью трех различных выключателей таким образом, чтобы нажатие на любой из них приводило к включению света, если он перед этим был выключен, и к его выключению, если он был включен.
2. Пусть каждый из членов комитета голосует «за» нажатием на кнопку. Постройте по возможности наиболее простую электрическую цепь, через которую ток проходил бы тогда и только тогда, когда не менее двух членов комитета голосуют «за».
12. Типы булевых функций. Полиномы жегалкина
Задача 1.
Представьте следующие функции полиномами
Жегалкина. Проверьте принадлежность
их к классам
,
и
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
,
15) 
,
16) 
,
17) 
,
18) 
,
19) 
,
20) 
.
Задача 2. Выпишите все пары сравнимых между собой наборов для функции трех переменных.
Задача 3. Определите, являются ли монотонными следующие функции
1)
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6)
,
7) 
,
8)
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
,
15) 
,
16) 
,
17)
.
Задача 4. Найдите двойственные для следующих функций. Какие из них являются самодвойственными?
1)
,
2) 
,
3)
,
4) 
,
5)
,
6) 
,
7) 
.
Задача 5.
Докажите, что функция
образует функционально полную систему.
Задача 6. Проверьте полноту системы функций. В случае полноты определите, является ли система базисом. Укажите базис.
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
.
Библиографический список
Баврин И.И. Дискретная математика. М.: Высш. шк., 2007. 200 с.
Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. М.: МГТУ, 2004. 744 с.
Зарецкая М.А. Дискретная математика для программистов. Магнитогорск: МГТУ, 2009. 172 с.
Зарецкая М.А., Файнштейн А.С. Метод математической индукции и комбинаторика. Методическая разработка для студентов специальности 230105. Магнитогорск: МГТУ, 2008.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика, т. 7. — М.: Эдиториал УРСС, 2004. 208 с.
Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера. СПб.: Лань, 2004. 370 с.
Шевелев Ю.П. Дискретная математика. СПб.: Лань, 2008. 592 с.