Дополнительные задачи
13. Пусть словом считается любая последовательность из четырех букв. Сколько слов можно составить из букв слова а) караван, б) катапульта?
14. На плоскости проведены попарно пересекающихся прямых, среди которых нет ни одной тройки пересекающихся в одной точке. Найдите число точек пересечения этих прямых.
15. Известно, что никакие три диагонали выпуклого 12-угольника не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения диагоналей.
16. Найдите количество 2015–значных чисел, каждое из которых содержит все цифры, кроме 0, и никакие две рядом стоящие цифры которых не являются одинаковыми.
17. Найдите коэффициент
при
в разложении по степеням
выражения
.
3. Множества Домашнее задание
1. Найдите
,
если
а)
;
б)
.
2. Докажите равенства взаимным включением
а)
,
б)
,
в)
.
3. В группе из 25 студентов 17 человек сдали экзамен по дискретной математике, 21 — по линейной алгебре, оба экзамена сдало 15 человек. Сколько человек не сдало ни одного из этих экзаменов?
4. На вершину Пилатуса можно подняться по подвесной канатной дороге, по зубчатой железной дороге или пешеходными тропами. Каждый из 45 туристов попробовал хотя бы один из этих способов, при этом 29 проехали по зубчатке, 29 — по канатной дороге, 11 ходили пешком; 18 попробовали и зубчатку, и канатную дорогу, 4 — канатную дорогу и пешеходные тропы, 3 — зубчатку и пешеходные тропы. Сколько человек попробовали все три способа, а сколько предпочли только пешеходные прогулки?
5. Определите виды отношений
I.
на
.
II.
,
,
,
на R.
III.
—
знакомства,
—
родства,
—
любви,
—
учиться
в одной группе,
—
быть старше,
—
быть
тезками на множестве людей.
IV.
—
деления на N.
Постройте
графы и матрицы для отношений
.
6. Отношение
из
в
задано матрицей
.
Запишите элементы множества
и постройте двудольный граф отношения.
7. Придумайте задачу на пересечения трех множеств. Запишите задачу и ее решение на отдельном листе.
Дополнительные задачи
8. Дом детского творчества регулярно посещают 220 школьников. При доме имеется 6 спортивных секций: легкоатлетическая (л), волейбольная (в), баскетбольная (б), футбольная (ф), секция самбо (с) и шахматная (ш). Число участников этих секций таково: (л) — 30 человек, (в) — 26 человек, (б) — 32 человека, (ф) — 31 человек, (с) — 28 человек, (ш) — 36человек. Несколько секций посещают 53 школьника; из них:24 школьника посещают 3 или более секций, 9 школьников не меньше — четырех секций и 3 школьника — даже 5 секций (в последнюю тройку школьников входит и один чудак, который посещает все 6 спортивных секций). Сколько из посещающих дом детского творчества школьников не участвуют ни в одной спортивной секции?
9. (Задача Льюиса Кэрролла) В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 — одно ухо, 80 — одну руку и 85 – одну ногу. Каково минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?
10. Коля, Вова и Саша решили вместе 100 задач. Каждый мальчик решил по 60 задач. Назовем задачу легкой, если ее решили все три мальчика, и трудной, если ее решил только один мальчик. Докажите, что трудных задач было на 20 больше, чем легких.
11. Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом строго придерживаться такого распорядка: каждый второй день (т.е. через день) ходить купаться на озеро, каждый третий ездить в магазин за продуктами, каждый пятый день решать задачи по математике. В первый день Петя проделал и то, и другое, и третье и очень устал. Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купаться, но не нужно будет ездить в магазин и решать задачи, а сколько «скучных», когда не будет никаких дел?