1. Метод математической индукции

Метод математической индукции основан на следующей аксиоме (принципе математической индукции):

Пусть имеется утверждение, зависящее от натурального числа . Это утверждение будет справедливо для любых натуральных , если:

1) оно справедливо при (базис индукции);

2) из справедливости утверждения при следует его справедливость при (индукционный шаг).

Таким образом, при применении метода математической индукции следует

1) выполнить проверку утверждения при ,

2) предположить, что утверждение справедливо для некоторого натурального и с учетом этого предположения доказать его справедливость для .

Пример 1. Доказать методом математической индукции, что для всех натуральных

.

Решение

1) Базис индукции. При формула верна, так как

2) Индукционный шаг. Пусть — произвольное натуральное число и формула справедлива при , т. е.

.

Докажем, что тогда формула имеет место и при , т.е.

Действительно,

.

Следовательно, формула справедлива при всех натуральных .

Пример 2. Доказать, что при всяком натуральном число делится на .

Доказательство проведем методом математической индукции.

1) Базис индукции. При утверждение справедливо, так как делится на .

2) Пусть  — некоторое натуральное число и утверждение справедливо при , то есть делится на 33.

Докажем, что тогда утверждение справедливо для следующего натурального числа , то есть докажем, что делится на 33.

Действительно,

делится на 33, так как первое слагаемое делится на 33 в силу предположения и , очевидно, делится на 33. Следовательно, делится на 33 при любом натуральном .

Задачи

1. Докажите методом математической индукции, что для всех натуральных

1). .

2). .

3). .

2. Докажите методом математической индукции, что для всех натуральных

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

3. Докажите, что

1). при .

2). при .

3). при .

4). при .

Домашнее задание

Основные задачи

Докажите методом математической индукции, что для любого натурального числа

1)

2)

3)

4) при

Дополнительные задачи

1) Докажите, что при нечетном .

2) Найдите сумму .

3) Докажите, что .

4) Докажите, что окружностей, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые можно закрасить белой и черной красками так, что все смежные области (т.е. области, имеющие общую границу) будут закрашены разными красками (белой и черной).

5). Докажите формулу для последовательности Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8,…

.

6). Найдите сумму .

2. Комбинаторика. Основные правила комбинаторики Соединения без повторений

1. На одном из дорожных указателей стояло: «Аркаим 20 км». Вскоре путешественник понял, что на указателе или первая, или последняя цифра (только одна) была стерта. а). Сколько вариантов дорожного указателя могло быть? б). Тот же вопрос при 22 км.

2. Если авиакомпания осуществляет 15 рейсов из Сан-Франциско в Чикаго и 20 рейсов из Чикаго в Нью-Йорк, то сколько всего рейсов из Сан-Франциско в Нью-Йорк проходит транзитом через Чикаго?

3. В меню университетской столовой имеется 4 первых, 5 вторых и 3 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед а) только из одного блюда, б) одного первого, одного второго и одного третьего блюда, в) только из двух блюд, г) хотя бы из одного блюда?

4. Сколько существует пятизначных натуральных чисел, в каждом из которых все цифры различны?

5. Сколько существует пятизначных натуральных чисел, в каждом из которых соседние цифры различны?

6. Сколько существует шестизначных натуральных чисел, в каждом из которых нет одинаковых цифр, а вторая и четвертая цифры нечетные?

7. Сколько существует пятизначных натуральных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

8. Сколько существует натуральных чисел между 0 и 1000, содержащих хотя бы одну цифру 7?

9. Сколько существует пятизначных натуральных чисел, начинающихся с двух одинаковых цифр?

10. Сколько существует пятизначных нечетных натуральных чисел, в каждом из которых все цифры различны?

11. Сколько существует различных шестизначных телефонных номеров, состоящих из различных цифр?

12. Сколько различных натуральных делителей имеет число ?

13. Сколькими способами можно разместить на полке 5 из 8 различных книг?

14. Сколькими способами можно распределить 25 заданий между 25 студентами?

15. Сколькими способами можно рассадить 10 студентов в аудитории на 24 места?

16. Итальянский город Падуя характеризуется тремя фразами вида «А без В», где А и В — разные слова из множества . Сколько разных характеристик можно составить?

17. В группе из 10 юношей и 15 девушек нужно выбрать делегацию из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если а) выбираются 2 юноши и 3 девушки, б) должны быть выбраны хотя бы две девушки?