2.2. Объекты задачи прицеливания

Составление математической модели объектов задачи прицеливания необходимо начать с введения в рассмотрение систем координат [9], используемых в АПрС, и углов, определяемых в них.

2.2.1 Системы координат, используемые в задаче прицеливания

Для исследования движения ЛА как твердого тела применяются прямоугольные правые системы координат, определяющие его пространственное положение тремя линейными координатами и тремя углами. В зависимости от расположения начала системы отсчета выделяют две группы систем координат: связанные с землей и связанные с ЛА.

В первой группе наиболее часто используется инерциальная система координат Ox_инy_инz_ин. Оси этой системы координат не изменяют своего направления в пространстве. Направление осей выбирают в соответствии с решаемой задачей. Инерциальная система координат участвует только в поступательном движении Земли вокруг Солнца, и положение ее осей не зависит от суточного вращения Земли.

Большая вторая группа координат объедена общим признаком – расположением начала координат в характерной точке движущегося ЛА, обычно в центре масс. В практике используют географическую, горизонтированную, траекторно-горизонтированную, связанную, скоростную и лучевую системы координат.

Географическая система координат Ox_gy_gz_g. Начало этой системы координат точка О совпадает с центром тяжести ЛА. Ось Ох_g лежит в меридиальной плоскости и направлена на север; ось Оу_g направлена по нормали – географической местной (географической) вертикали – перпендикулярно оси Ох_g; ось Оz_g вместе с осью Ох_g находится в местной горизонтальной плоскости и дополняет систему координат до правой тройки векторов.

Связанная система координат Ox_свy_свz_св. Для определения координат БАК относительно географической системы координат применяется связанная с БАК система координат, то есть система, неподвижная относительно ЛА. Начало связанной системы координат совмещают с центром тяжести ЛА, который будем считать неподвижным относительно корпуса аппарата. Оси Ох_св и Оу_св располагают в плоскости симметрии ЛА, причем ось Ох_св направляется вперед, а ось Оу_св – вверх, перпендикулярно оси Ох_св. Тогда ось Oz_св, перпендикулярная к плоскости симметрии Ох_сву_св, образует правую систему координат и будет направлена в сторону правого крыла. Ось Ох_св может быть направлена либо параллельно хорде крыла ЛА, либо вдоль строительной горизонтали. В данной задаче она направлена вдоль оси корпуса ЛА. Также полагаем, что связанные оси близки к главным центральным осям инерции ЛА.

БАК как жесткое тело имеет шесть степеней свободы, и соответственно положение БАК относительно географической системы координат определяется шестью координатами: тремя координатами x₀, y₀, z₀ начала О связанной системы координат и тремя углами между связанной и географической системами координат. Эти углы определяют следующим образом.

Углом рысканья ψ называют угол между проекцией оси Ох_св связанной системы координат на местную горизонтальную плоскость Ox_gy_g и осью Ох_g географической системы координат (направлением на север).

Углом тангажа ϑ называют угол между продольной осью Ох_св и местной горизонтальной плоскостью.

Углом крена γ называют угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через продольную ось Ох_св, и осью Оу_св.

Горизонтированная система координат Оx_горy_горz_гор. Начало этой системы координат точка совпадает с центром тяжести ЛА. Ось Ох_гор направляется по оси симметрии БАК и располагается в местной горизонтальной плоскости. Оу_гор располагают в плоскости симметрии БАК и направляют вверх, перпендикулярно оси Ох_гор. Боковая ось Оz_гор дополняет две названные оси до правой системы координат.

Легко видеть, что положение горизонтированной системы координат относительно связанной определяется описанными выше углами крена γ и тангажа ϑ, а относительно географической – углом рысканья ψ.

Скоростная система координат Ox_скy_скz_ск. При изучении движения центра тяжести БАК удобно в качестве подвижной системы координат выбирать систему с осью Ох_ск, направленной по вектору воздушной скорости центра тяжести ЛА. Начало координат такой системы располагается в центре тяжести ЛА, оси Oy_ск и Oz_ск лежат в плоскости, нормальной к вектору воздушной скорости . В динамике полета направление оси Оу_ск выбирают как правило в плоскости симметрии БАК (иногда в вертикальной плоскости Ох_gу_g – полускоростная система координат). Боковая ось Oz_ск, перпендикулярная этой плоскости симметрии, очевидно, будет направлена в сторону правого горизонтального крыла.

Положение скоростной относительно связанной системы координат определяется с помощью следующих углов.

Углом атаки α называют угол между проекцией вектора воздушной скорости на плоскость симметрии БАК и осью Ох_св связанной системы координат;

Углом скольжения β называют угол между вектором воздушной скорости и плоскостью симметрии ЛА.

Траекторно-горизонтированная система координат Ox_тргy_тргz_трг. Начало этой системы координат помещают в центр масс ЛА. Ось Ox_трг располагают в местной горизонтально плоскости и направляют по вектору путевой скорости ЛА. Ось Oy_трг направляют вверх от поверхности Земли в вертикальной плоскости, проходящей через ось Ox_трг. Ось Oz_трг направлена горизонтально в сторону правого крыла.

Положение траекторно-горизонтированной системы координат относительно географической определяется углом .

Путевым углом  или углом курса называется угол между проекцией вектора земной скорости на горизонтальную плоскость и осью Ох_g.

В случае просто траекторной системы координат дополнительно необходимо учитывать угол . Углом наклона траектории  называется угол между путевой скоростью БАК и горизонтальной плоскостью.

Лучевая система координат Ox_лy_лz_л. Она определена относительно связанной системы координат углами _y и _z, представляющими собой углы визирования цели, определяющие пространственное положение осей Oy_л и Oz_л лучевой системы координат относительно соответствующих осей связанной системы координат.

Положение лучевой системы координат относительно горизонтированной определяется помимо углов _y и _z углами крена γ и тангажа ϑ, которые были определены выше.

Преобразования, связанные с переходом из одной системы координат к другой, осуществляются с помощью матриц направляющих косинусов. Матрицу удобно обозначать двумя индексами , где нижний индекс соответствует основной системе координат, а верхний – системе, определяемой последовательным поворотом на эйлеровы углы относительно основной. Элементами матрицы, являются функции эйлеровых углов поворота:

Каждый элемент матрицы равен проекции единичного вектора, направленного по одной координатной оси основной системы, на соответствующую ось определяемой системы, то есть .

Функции углов записаны в каждом элементе в порядке, соответствующем очередности поворотов основной системы координат. Так, например, элемент означает, что сначала основную систему повернули на угол , затем на угол  и в конце – на угол .

Если надо осуществить переход от второй системы координат к первой, то необходимо воспользоваться транспонированной матрицей. Сложный последовательный переход от первой системы координат ко второй и от второй к третьей осуществляется по правилу перемножения матриц: