Коротко про головне

«Методи обчислень» є одним із розділів математики, що набули найбільш швидкого розвитку на протязі останніх десятирічь. Це зумовлено сукупним впливом таких факторів як розвиток обчислювальної техніки, розробка ефективного програмного забезпечення нового покоління (наприклад, діалогові програмні продукти аналітичних обчислень) та подальшого вдосконалення математичних моделей.

В нинішній час курс «Методи обчислень» став одним із базових компонентів вищої освіти в галузі математичних наук, що відіграє значну роль в розв'язанні пріоритетних задач освіти - формуванні всебічно розвиненої особистості, системно-інформаційної картини світу, навчальних і комунікаційних навичок. Масштабне впровадження комп'ютерних технологій в навчальний процес, що лежить в основі розвитку сучасної школи, потребує оволодіння майбутніми фахівцями основами курсу «Методи обчислень» із використанням найсучаснішого програмного забезпечення.

Контрольні питання

1. На які етапи умовно можна розбити історію дисципліни «Методи обчислень»?

2. Який вклад українських вчених в розвиток обчислювальної математики?

3. Які задачі вирішуються в курсі обчислювальної математики?

4. Що таке чисельні методи?

Лекція 2. Елементарна теорія погрішностей

Мета. Ознайомити студентів з основними положеннями елементарної теорії погрішностей, класифікацією погрішностей, засвоїти поняття про округлення чисел та правилами підрахунку вірних цифр.

Обладнання. Мультимедійна дошка, комп’ютерні презентації до теми.

План лекції

1. Точні і наближені числа. Джерела погрішностей. Класифікація погрішностей.

2. Абсолютна і відносна погрішність.

3. Десятковий запис наближених чисел. Значуща цифра числа.

4. Округлення чисел

5. Зв’язок між числом вірних знаків та погрішністю числа.

6. Погрішність суми (різниці), добутку, частки, степені, кореня.

7. Правила підрахунку вірних цифр.

8. Контрольні питання

2.1. Точні і наближені числа. Джерела погрішностей. Класифікація погрішностей

В процесі розв’язання задач обчислювач часто стикається з різними числами, які можуть бути точними або наближеними. Точні числа дають істинні значення величин чисел, наближені – близькі до істинних, а їх близькість визначається величиною погрішності або похибки обчислення.

Наприклад, в твердженні, що в аудиторії знаходиться 53 студента, 18 парт, 3 вікна, на руці 5 пальців - числа точні.

Твердження, що від до гуртожитку до університету близько 750 метрів, ширина парти приблизно 1,45 метрів, число  = 3,14 – це наближені числа. Вимір відстані виконується мірильними засобами, які самі по собі можуть бути не точними. Окрім того, вимірювач може допустити помилку, а деколи для спрощення обчислень свідомо замінює точне значення наближеним.

Таким чином, наближеним числом a називається число, яке мало відрізняється від точного числа А і яке замінює А в розрахунках.

При вирішені тієї чи іншої задачі аналітично, або на обчислювальній машині ми отримуємо результат, який не являється точним тому, що при постановці задачі і в ході обчислень виникають погрішності. Тоді при постанові задачі необхідно вказати точність її розв’язання. Це значить, що повинна бути задана погрішність, яка максимально допустима в процесі всіх розрахунків.

Джерелами погрішностей (похибок або помилок обчислень) можуть бути:

1. неточне відображення реальних процесів за допомогою математики, в зв’язку з чим розглядається не сам процес, а його ідеалізована математична модель. Не завжди реальні явища природи, технічні процеси можна точно відобразити математично. Тому їх спрощують для розв’язання задачі, що неминуче призводить до появи погрішності обчислень;

2. наближені значення величин, які входять в умову задачі, із-за неточного їх виміру. Це погрішності вхідних даних, фізичних констант та інші;

3. заміна безкінечних процесів, границями яких є обчислювані величини, кінцевою послідовністю дій. Сюди відносяться погрішності, які утворюються в результаті обриву деякого безкінечного процесу обчислень на якомусь етапі. Наприклад, якщо в рядах

взяти задану обмежену кількість членів і прийняти їх суму за величину функцій е^х або sin x, то ми, як годиться, допускаємо погрішність.

4. округлення значень вхідних даних, проміжних або кінцевих результатів, коли при обчисленнях використовується кінцеве число цифр наближеного числа;

5. окрім того, погрішності можуть з’явитися в результаті дій над наближеними числами.

Повна погрішність являється результатом складної взаємодії всіх видів погрішностей.

У всіх випадках повна погрішність не може перевищувати по абсолютній величині суми абсолютних величин всіх видів погрішностей.

Виходячи з вищесказаного, погрішності можна розділити на три групи:

1. Вхідні, або неминучі, до яких відносяться погрішності, що виникають в результаті наближеного опису реальних процесів, а також погрішності, які пов’язані з діями над наближеними числами. Вони проходять через всі обчислення.

2. Погрішності округлення, які появляються в результаті округлення вхідних даних, проміжних і кінцевих результатів.

3. Залишкові, які виникають в результаті заміни безкінечних процесів кінцевою послідовністю дій.

При роботі з наближеними величинами обчислювач повинен вміти:

• давати математичні характеристики точності наближення величин;

• знаючи точність вхідних величин, оцінити точність результатів;

• брати вхідні дані такої точності, щоб забезпечити задану точність результату;

• вміти побудувати обчислювальний процес так, щоб не виконувати дій, які не впливають на точність результату.