Лекція 1. Методи наближених обчислень як розділ обчислювальної математики. Основні поняття обчислювальної математики

Мета. Ознайомити студентів з історією виникнення і розвитком обчислювальної математики, основними поняттями дисципліни, змістом та основними задачами, які розв’язуються за допомогою чисельних методів.

Обладнання. Мультимедійна дошка, комп’ютерні презентації до теми.

План лекції

1. Вступ

2. Історія дисципліни «Методи обчислень»

3. Основні поняття обчислювальної математики

4. Обчислювальна задача. Чисельні методи та їх особливості

5. Коротко про головне

6. Контрольні питання

Вступ

Дисципліна "Методи обчислень" закумулювала в собі алгоритми побудови наближених розв'язків різних математичних задач сучасної математики: алгебри, математичного аналізу, диференціальних та інтегральних рівнянь тощо. Ці наближені рішення отримують, як правило, у вигляді певних числових масивів, або у певному чисельно-аналітичному вигляді. Звичайно, виникають суттєві питання щодо якості наближених розв'язків: наскільки вони відрізняються від шуканих точних розв'язків, які фактори впливають на покращення (погіршення) очікуваного наближеного результату та, в решті решт, як виконувати обчислення безпосередньо.

1.1. Історія дисципліни «Методи обчислень»

Методи обчислень мають довгу історію, яку можна умовно розбити на три етапи.

Перший етап - до Епохи Відродження - пов'язаний з необхідністю обчислення характеристик простих геометричних об'єктів (відстань, кути, площі, об'єми тощо), розрахунків простих механічних пристроїв та систем, обчислення в астрономії. На цьому етапі особливо відзначився Архімед (287-212 р. до н.е.). Відомо, що саме він знайшов відрізок числової осі, в якому міститься число π, надав йому прості в практичному використанні межі - . Відносна похибка запропонованого Архімедом наближеного значення числа π з цього відрізку складає всього 0,04% . Вражає своєю точністю досягнення древнєгрецького філософа Гіпарха: 365 днів 5годин 55 хвилин - така за його обчисленнями довжина року на Землі. Це відрізняється від сучасних даних лише на 0,001%! Серед відомих алгоритмів - алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника натуральних чисел: віднімати від більшого менше двох чисел, доки вони не зрівняються.

Другий етап суттєво менший за розміром: від епохи Відродження до середини ХХ століття. Але за кожним іменем математиків того періоду - шлейф видатних досягнень! Ньютон, Ейлер, Лагранж, Гаус, Левер'є, Адамс, Бубнов, Гальоркін, Крилов... . І цей список видатних імен далеко не повний. Їх дослідження стали вагомим внеском в обчислювальну математику. Саме в другому періоді з'явився математичний аналіз, диференціальні рівняння, що привело до можливості втілення нових інженерних проектів через розрахунки з високою точністю.

Третій етап - від середини ХХ століття до нашого часу. Це етап постановки та розв'язування нелінійних задач, що відповідають складним математичним моделям процесів природи і технологій.

У наш час обчислювальна математика одержала значний імпульс в 1950 ті роки, що було пов'язано з розвитком ядерної фізики, механіки польоту, аеродинаміки, космічних апаратів, що спускаються.

Бурхливий розвиток обчислювальної техніки у 50-60-х роках минулого століття наклав свій відбиток на обчислювальну математику, предметом якої є чисельні методи та питання їх обґрунтування. В ці роки обчислювальна математика набула свого розквіту. Поруч із своїми традиційними розділами, найважливішими серед яких були: обчислення значень функцій, обчислювальні методи лінійної алгебри, чисельне диференціювання та інтегрування, чисельне розв'язування диференціальних та інтегральних рівнянь, чисельні методи мінімізації функцій і функціоналів, - почали розвиватись нові її розділи, такі, як теорія і чисельні методи розв'язування некоректних задач, лінійного та нелінійного математичного програмування, теорія систем обробки даних, відновлення функцій і функціоналів, методи оптимізації та ін. Кожному із названих розділів відповідають свої чисельні методи. Нарівні з ітераційними методами, що інтенсивно розвивались та ефективно застосовувались до розв'язування багатьох класів задач, особливо широкого розвитку в цей період набули різного роду апроксимаційні (дискретизаційні) методи, за допомогою яких вихідна (точна) задача замінюється, в певному розумінні, наближеною з наступним її точним або наближеним розв'язанням. До таких методів відносяться: скінчено-різницеві, проекційні, проекційно-ітераційні, варіаційні та ін. За допомогою цих методів апроксимаційні рівняння конструюються так, щоб їх розв'язування зводилось, як правило, до розгляду скінченої системи скалярних рівнянь.

Відомо, що якість та ефективність тих чи інших чисельних методів визначається певним набором їх характеристик, одні з яких властиві тільки чисельним методам певного класу (наприклад, початкове наближення і швидкість збіжності для ітераційних методів), а інші загальні характеристики властиві чисельним методам усіх класів. Прикладами таких характеристик є різного роду похибки чисельного методу, час його реалізації на ЕОМ та необхідна для цього пам'ять ЕОМ.

Теоретичні дослідження чисельних методів з метою забезпечення їх всілякими характеристиками у цей період вели численні групи математиків, у тому числі в Інституті кібернетики НАН України, Інституті прикладного системного аналізу НАН України, Інституті фізики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут» (ННЦ ХФТІ) та інших наукових закладах України. Об'єктами дослідження були способи дискретизації континуальних математичних моделей, умови (які можна ефективно перевірити) можливого застосування того чи іншого методу, оцінки швидкості збіжності, апріорні та апостеріорні оцінки похибки, вибір початкових наближень та питання стійкості чисельних методів до похибок вхідних даних і заокруглення.

Глибокі наукові дослідження цих питань сприяли створенню на основі ідей функціонального аналізу загальної теорії наближених методів, а подальші дослідження характеристик точності, швидкодії та ін., їх порівняння для різних чисельних методів, привели до постановки задачі оптимізації останніх за точністю, швидкодією та іншими характеристиками. З'явились роботи В.М. Глушкова, В.С. Михалевича, А.М. Тихонова, О.А. Самарського, М.С. Бахвалова, І.В. Сергієнка, В.В. Воєводіна, В.В. Іванова, В.І. Лебедєва та багатьох інших учених, де розглядались теоретичні дослідження питань точності та ефективності чисельних методів і оптимізації обчислень на різних класах задач і чисельних методів.

Не менш важливою проблемою на даному етапі розвитку обчислювальної математики та техніки була проблема розробки та дослідження методів організації обчислювальних робіт на ЕОМ, а також оцінки ефективності складних систем, оскільки створювались міцні обчислювальні центри з ЕОМ різної потужності спеціального чи загального призначення з індивідуальним або колективним способом користування.

Очевидно, що для ефективного використання можливостей таких центрів потрібно було належним чином організувати й оцінювати їх роботу. Теоретичні розробки з цих питань та їх практичні аспекти знайшли своє відображення в дослідженнях В.М. Глушкова.

В середині 60-х років з'явились перші підручники та монографії з обчислювальної математики, які увібрали в себе все, що було напрацьовано за минулий період [1-8].

На цей час для розв'язування типових задач обчислювальної математики було створено досить багато методів й актуальними стали питання щодо їх порівняльного аналізу (за деякими критеріями) та побудови ефективних (у тому числі й оптимальних) методів розв'язування цих задач. Результати цих досліджень повинні були знайти своє втілення у створюваному математичному забезпеченні серійних ЕОМ.

Надалі вирішувалися задачі, пов'язані не тільки з розрахунками дії ядерного вибуху й обтіканням боєголовок стратегічних ракет. Чисельні методи знайшли своє застосування в таких областях, як динаміка атмосфери, термогідрографія, фізика плазми, механіка гірських порід і льодовиків, синергетика, біомеханіка, теорія оптимізації, математична економіка та ін. Найбільш наукомісткі й вимагають максимальних обчислювальних ресурсів задачі фізики, механіки й електродинаміки суцільних середовищ. До них відносяться системи рівнянь у часткових похідних Ейлера, Лагранжа, Максвелла та ін., кінетичної теорії газів (рівняння Власова, Берда), а також задачі багатомірної оптимізації.