Рис. 11.5. Функция для получения робастной оценки параметра сдвига
11.13 М-оценки параметра масштаба
Параметр θ называется параметром масштаба, если плотность вероятности генеральной совокупности f ( x,θ ) может быть представлена в виде
f (x,θ) = θ1 f (θx ) . Например, дисперсия σ2 нормального распределения является
параметром масштаба.
Для получения робастной М-оценки параметра масштаба необходимо надлежащим образом выбрать функцию ψ в формуле (11.10)). Прежде всего ее
следует |
выбирать в |
виде |
ψ = |
1 |
ψ ( |
x |
) . Если |
распределение |
генеральной |
||||
θ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|||
совокупности симметрично, |
то функцию следует выбирать симметричной: |
||||||||||||
ψ( − |
x |
) =ψ( |
x |
). Для |
того чтобы |
представить |
себе вид такой |
функции ψ , |
|||||
|
|
||||||||||||
θ |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
посмотрим, какова она в случае известных нам МП-оценок. Для МП-оценок функция ψ представляет собой производную от логарифма плотности
вероятности: ψ = |
|
∂ |
ln f (x,θ) . Для параметра масштаба получаем |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
∂ |
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
f ' ( x )x |
|
||||||||
ψ = |
|
|
ln( |
|
|
f ( |
|
|
)) = |
|
|
−lnθ +ln f ( |
|
) = − |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
∂θ |
θ |
θ |
|
|
θ |
θ |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
θ |
2 |
f ( |
) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обычно функцию ψ |
записывают при |
θ =1, |
поскольку |
в |
|
этом |
|
случае она |
||||||||||||||||||||||
определяется полностью. В итоге для МП-оценок функция ψ имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ =ψ( x ) = −x |
f ' ( x ) |
−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.11) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, для нормального распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
x2 |
|
|
|
|
1 |
− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
′ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
f ( x ) = |
2π e |
|
|
|
|
2π e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, f ( x ) = −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и по формуле (11.11) получаем ψ( x ) = x2 −1. Вид этой функции приведен на рис. 11.6. Эта функция неограничена, неограниченной будет и соответствующая функция влияния. Следовательно, максимально правдоподобная оценка параметра масштаба (дисперсии) нормального распределения не B -робастна.
Для получения B -робастной М-оценки параметра масштаба можно взять для любого распределения следующую функцию
|
′ |
|
b |
|
|
f ( x ) |
|
|
|||
ψ( x ) = − x |
|
|
−1−a |
, |
|
f ( x ) |
|
||||
|
|
−b |
|
||
где b > 0 , a – любое действительное число, |
[...]b |
означает ограничение |
|||
|
|
|
|
−b |
|
функции на уровне b . Для нормального распределения эта функция имеет вид
ψ( x ) = [x 2 −1 − a]b−b .
Для больших значений b эта функция имеет вид, представленный на рис. 11.7. В этом случае она ограничена сверху. Для малых значений b эта функция имеет вид, представленный на рис. 11.8. В этом случае она ограничена сверху и
29
снизу. Выбрав такую функцию, мы получим B -робастную М-оценку параметра
масштаба.
Рис.11.6.
30
Рис. 11.7.
Рис. 11.8.
31