СМОД – Статистические методы обработки данных / laba_5

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет информационных технологий и управления

Кафедра ИТАС

Отчет

по лабораторной работе №5

«Оценивание законов распределения скалярных случайных величин»

Выполнили:

Проверил: ассистент Трофимович А.Ф.

Минск, 2012

1. Цель работы.

Изучение оценок законов распределения скалярных случайных величин.Приобретение навыков получения оценок законов распределения скалярных случайных величин с помощью системы программирования Matlab.

2. Задание.

   1. Получить (смоделировать) выборки из приведенных одномерных распределений. Для этого использовать программы, описанные в лабораторной работе № 3.

   2. Для каждого распределения вывести на экран в одно графическое окно гистограмму и генеральную плотность вероятности, а в другое графическое окно – эмпирическую функцию распределения и генеральную функцию распределения. Для вывода генеральных плотностей вероятности и функций распределения использовать программы, описанные в лабораторной работе № 1. Для согласования масштабов гистограммы и генеральной плотности вероятности необходимо генеральную плотность вероятности умножить на коэффициент

3. Исследовать сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n.

3. Выполнение работы.

   1. Равномерное распределение.

Для равномерного распределения смоделируем и получим выборку. На рисунке 1 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения. На рисунке 2 представлена гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат.

Рисунок 1 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция равномерного распределения при n=100

Рисунок 2 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для равномерного распределенияприn=100

Код программы:

function [y] = ravn( a, b )

y = 0;

fori=1:100

y = a+(b-a)*rand;

end

return

clc

clear

a=0.1;

b=4;

n=100;

L=20;

fori = 1:1:n

xunsorted(i) = ravn (a,b);

y(i) = i/n;

end

xsorted = sort(xunsorted);

k = (n*(xsorted(n) - xsorted(1)))/L;

ygen = unifcdf(xsorted,a,b);

fgen = k*unifpdf(xsorted,a,b);

figure

holdon

gridon

plot(xsorted,ygen,'r');

stairs(xsorted,y,'b');

figure

holdon

gridon

hist(xsorted,L);

plot(xsorted,fgen+2,'r');

Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n.

Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 3 и 4 соответственно.

Рисунок 3 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция равномерного распределения при n=1000

Рисунок 4 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для равномерного распределенияприn=1000

Для n=7000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 5 и 6 соответственно.

Рисунок 5 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция равномерного распределения при n=7000

Рисунок 6 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для равномерного распределенияприn=7000

2. Распределение хи-квадрат.

Для распределения хи-квадратсмоделируем и получим выборку. На рисунке 7 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения. На рисунке 8 представлена гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат.

Рисунок 7 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения хи-квадрат при n=100

Рисунок 8 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат приn=100

Кодпрограммы:

function x=hi(kf)

x = 0;

fori=1:1:length(kf)

x = x+normrnd(0,1)^2;

end

return

clc

clear

n = 100;

L=20;

kf =1;

y = [];

fori=1:n

xsorted(i) = hi(kf);

y(i) = i/n;

end

xsort=sort(xsorted);

k=(n*(xsort(n)-xsort(1)))/L;

ygen=chi2cdf(xsort,kf);

fgen=k*chi2pdf(xsort,kf);

figure

holdon

gridon

plot(xsort,ygen,'r');

stairs(xsort,y,'b');

figure

holdon

gridon

hist(xsort,L);

plot(xsort,fgen,'r');

Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n.

Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 9 и 10 соответственно.

Рисунок 9 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения хи-квадрат при n=1000

Рисунок 10 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат приn=1000

3. Экспоненциальное распределение.

Для экспоненциального распределения смоделируем и получим выборку. На рисунке 11 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения. На рисунке 12 представлена гистограмма и генеральная плотность вероятности для экспоненциального распределения.

Рисунок 11 - Эмпирическая функция распределения и генеральная функция экспоненциального распределения при n=100

Рисунок 12 - Гистограмма и генеральная плотность вероятности для экспоненциального распределения приn=100

Кодпрограммы:

function r = exponential(lambda)

fori=1:1:length(lambda)

r(i) = -lambda(i)*log(unifrnd(0,1));

end

end

clc

clear

lambda = 1;

n = 100;

L = 20;

fori = 1:1:n

xunsorted(i) = exponential(lambda);

y(i) = i/n;

end

xsorted = sort(xunsorted);

k = (n*(xsorted(n) - xsorted(1)))/L;

ygen = expcdf(xsorted,lambda);

fgen = k*exppdf(xsorted,lambda);

figure

holdon

gridon

plot(xsorted,ygen,'r');

stairs(xsorted,y,'b');

figure

holdon

gridon

hist(xsorted,L);

plot(xsorted,fgen,'r');

Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n.

Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 13 и 14 соответственно.

Рисунок 13 - Эмпирическая функция распределения и генеральная функция экспоненциального распределения при n=1000

Рисунок 14 - Гистограмма и генеральная плотность вероятности для экспоненциального распределения при n=1000

4. Вывод.

При увеличении объема выборки сходимость эмпирической функции равномерного распределения, распределения хи-квадрат и экспоненциального распределения к генеральной функции распределения увеличивается.