(впрочем, известную нам из раздела 1.8).
Рис.11.2. Функции влияния среднего значения и медианы
11.9 Получение функции влияния медианы
Медиана me распределения F( y ) определяется как решение относительно y уравнения F(y) = 1 / 2 и определяется с помощью равенства
me = med( F( y )) = F −1(1 / 2 ) .
Найдем функцию влияния этой характеристики. Для этого рассмотрим случаи x ≥ me и x < me , где x – точка, в которой расположена функция Хевисайда функции влияния. Первый случай означает, что искажающее наблюдение (выброс) расположен справа от медианы, второй – слева. Первый случай представлен на рис. 11.3.
20
Рис. 11.3. К расчету функции влияния медианы
Найдем функцию влияния для первого случая x ≥ me
|
|
|
IF(x;T, F) = lim |
1 |
[T((1 − t) F(y) + th( y − x)) −T(F(y))] = |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= lim |
1 |
[med((1 − t)F(y) + th(y− x)) − med(F(y))] . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
t→0 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В первом случае имеем med((1 −t) F(y) +th(y− x)) = med((1 −t)F(y)). |
Обозначим |
|||||||||||||||||||||||||||
med((1 − t)F(y)) = me . Тогда получим (см. рис. 11.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
IF(x;T, F) = lim |
1 |
( me − me ) = lim |
1 |
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
t |
|
t→0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
(1 − t) F( me ) = |
1 |
|
и, следовательно, |
F( me ) = |
|
|
1 |
|
, а также |
||||||||||||||||||
|
|
|
2(1 − t) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F( me ) = |
1 |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( Y ( me ,me + dy)) = F( me ) − F( me ) = |
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
= |
t |
|
. |
||||||||||||||||
2(1 − t ) |
2 |
|
2(1 − t ) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
С другой стороны,
P(Y ( me ,me + dy)) = f ( me )dy ,
где f(x) = F ′(x) – плотность вероятности. В таком случае
|
|
|
|
|
|
|
f( me )dy = |
|
t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2(1 −t ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда dy = |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
В |
результате |
для |
функции |
влияния получим |
|||||||||||||
2(1 −t ) f( me ) |
|
|||||||||||||||||||||
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IF(x;T, F) = lim |
1 |
dy = lim |
1 |
|
|
t |
|
|
= |
1 |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t 2(1 − t ) f ( me ) |
2 f ( me ) |
||||||||||||||||||
|
|
|
t→0 |
t |
t→0 |
|
|
|
||||||||||||||
Найдем теперь функцию влияния для второго случая x < me . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
IF(x;T, F) = lim |
1 |
[T((1 − t) F(y) + th( y − x)) −T(F(y))] = |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
t→0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= lim |
1 |
[med((1 −t)F(y) +th(y− x)) − med(F(y))] . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
t→0 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При x < me |
имеем med((1 − t) F(y) + th(y− x)) = med((1 − t) F(y) + t) . Обозначим |
|||||||||||||||||||||
med((1 − t)F(y) + t ) = me . Тогда получим
IF(x;T, F) = lim 1( me
t→0 t
(см. рис. 11.4)
− me ) = lim 1( −dy ) .
t→0 t
22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.4. К расчету функции влияния медианы |
|
|
|
|||||||||||
Поскольку (1 |
−t) F( me ) +t = |
1 |
, откуда F( me ) = |
1 − 2t |
, а также F( me |
) = |
1 |
, то |
||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
2(1 − t) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
P( Y ( me ,me + dy )) = F( me ) − F( me ) = |
1 |
− |
1 − 2t |
|
= |
t |
|
. |
|
|
|||||
|
|
2(1 − t ) |
2(1 − t ) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Так как
P( Y ( me ,me + dy)) = f ( me )dy ,
где f(x) = F ′(x) – плотность вероятности, то
|
|
|
|
|
f( me )dy = |
|
t |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2(1 −t ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда dy = |
t |
|
. |
В результате |
для |
|
функции |
влияния получим |
||||||||||
2(1 −t ) f( me ) |
|
|||||||||||||||||
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IF(x;T, F) = lim |
1 |
( −dy ) = lim |
1 |
( |
|
|
− t |
|
|
) = |
−1 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
2(1 |
− t ) f ( me ) |
2 f ( me ) |
|||||||||||
|
t→0 |
|
t→0 |
t |
|
|
||||||||||||
23