Цилиндр

1. За­да­ние 8 № 27045. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в .

Ре­ше­ние.

Объём де­та­ли равен объ­ё­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объём вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 9/12 ис­ход­но­го объёма:

 

.

Ответ: 1500.

Ответ: 1500

27045

1500

2. За­да­ние 8 № 27046. В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в раза боль­ше пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

Ре­ше­ние.

Объем ци­лин­дри­че­ско­го со­су­да вы­ра­жа­ет­ся через его диа­метр и вы­со­ту как . При уве­ли­че­нии диа­мет­ра со­су­да в 2 раза вы­со­та рав­но­го объ­е­ма жид­ко­сти умень­шит­ся в 4 раза и ста­нет равна 4.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

27046

4

3. За­да­ние 8 № 27049. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра длина ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии . По­сколь­ку ги­по­те­ну­за яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ци­лин­дра, его объем

 

.

Ответ: 125.

Ответ: 125

27049

125

4. За­да­ние 8 № 27050. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль квад­ра­та в ос­но­ва­нии приз­мы яв­ля­ет­ся диа­мет­ром опи­сан­но­го во­круг приз­мы ци­лин­дра. Тогда его объем:

 

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27050

4

5. За­да­ние 8 № 27053. Объем пер­во­го ци­лин­дра равен 12 м³. У вто­ро­го ци­лин­дра вы­со­та в три раза боль­ше, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния — в два раза мень­ше, чем у пер­во­го. Най­ди­те объем вто­ро­го ци­лин­дра. Ответ дайте в ку­би­че­ских мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пусть объём пер­во­го ци­лин­дра равен , объём вто­ро­го — , где  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний ци­лин­дров,  — их вы­со­ты. По усло­вию , . Вы­ра­зим объём вто­ро­го ци­лин­дра через объём пер­во­го:

 

,

От­ку­да

 

куб. м.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27053

9

6. За­да­ние 8 № 27058. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 2, вы­со­та равна 3. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра   , по­это­му

Ответ: 12.

Ответ: 12

27058

12

7. За­да­ние 8 № 27091.

В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 6 куб. см воды. В воду пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де уве­ли­чил­ся в 1,5 раза. Най­ди­те объём де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в куб. см.

Ре­ше­ние.

Объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 1/2 ис­ход­но­го объ­е­ма, по­это­му объем де­та­ли равен 3 куб. см.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27091

3

8. За­да­ние 8 № 27118. Одна ци­лин­дри­че­ская круж­ка вдвое выше вто­рой, зато вто­рая в пол­то­ра раза шире. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма вто­рой круж­ки к объ­е­му пер­вой.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим пло­щадь и вы­со­ту вто­рой круж­ки за и . Тогда объем пер­вой круж­ки

 

.

Тогда

.

Ответ: 1,125.

Ответ: 1,125

27118

1,125

9. За­да­ние 8 № 27133. Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3, вы­со­та равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , где C – длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния. По­это­му

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

27133

6

10. За­да­ние 8 № 27173. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна 4. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна , так как это пря­мо­уголь­ник. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

 

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27173

4

11. За­да­ние 8 № 27196. Най­ди­те объем V части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

 

.

Ответ: 45.

Ответ: 45

27196

45

12. За­да­ние 8 № 27197. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

 

.

Ответ: 3,75.

Ответ: 3,75

27197

3,75

13. За­да­ние 8 № 27198. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

 

.

 

Ответ: 144.

Ответ: 144

27198

144

14. За­да­ние 8 № 27199. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

 

.

Ответ: 937,5.

Ответ: 937,5

27199

937,5

15. За­да­ние 8 № 27200. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной фи­гу­ры равен сумме объ­е­мов ци­лин­дра с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 2 и вы­со­той 3 и по­ло­ви­ны ци­лин­дра с тем же ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния и вы­со­той 1:

 

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

27200

14

16. За­да­ние 8 № 27201. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной фи­гу­ры равен раз­но­сти объ­е­мов ци­лин­дра с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 5 и вы­со­той 5 и ци­лин­дра с той же вы­со­той и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 2:

 

.

Ответ: 105.

Ответ: 105

27201

105

17. За­да­ние 8 № 245358.

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 6. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна про­из­ве­де­нию длины окруж­но­сти, ле­жа­щей в ос­но­ва­нии, на вы­со­ту. По­это­му вы­со­та ци­лин­дра равна 2.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

245358

2

18. За­да­ние 8 № 284361. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а диа­метр ос­но­ва­ния — 1. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле: , зна­чит, .

Ответ: 2

284361

2

19. За­да­ние 8 № 284362. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а вы­со­та — 1. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле: ,

зна­чит, .

Ответ: 2

284362

2

20. За­да­ние 8 № 500911.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а диа­метр ос­но­ва­ния равен 5. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем:

Ответ: 8.

Ответ: 8

500911

8

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.

21. За­да­ние 8 № 509994. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 600 см³ воды. В воду пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де уве­ли­чил­ся в 1,6 раза. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см³.

Конус

1. За­да­ние 8 № 27052. Объем ко­ну­са равен 16. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем мень­ше­го ко­ну­са с той же вер­ши­ной. Най­ди­те объем мень­ше­го ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем мень­ше­го ко­ну­са в во­семь раз мень­ше объ­е­ма боль­ше­го ко­ну­са.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

27052

2

2. За­да­ние 8 № 27093. Най­ди­те объем V ко­ну­са, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го равна 2 и на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30 . В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

 

,

где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – вы­со­та ко­ну­са. Вы­со­ту ко­ну­са най­дем по свой­ству сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, на­хо­дя­щей­ся на­про­тив угла в ° – она вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы, ко­то­рой в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

.

Тогда объем

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

27093

1

3. За­да­ние 8 № 27094. Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­ту умень­шить в 3 раза?

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

 

,

где   – пло­щадь ос­но­ва­ния, а   – вы­со­та ко­ну­са. При умень­ше­нии вы­со­ты в 3 раза объем ко­ну­са также умень­шит­ся в 3 раза.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27094

3

4. За­да­ние 8 № 27095. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем ко­ну­са, если его ра­ди­ус ос­но­ва­ния уве­ли­чить в 1,5 раза?

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

 

,

где   – пло­щадь ос­но­ва­ния,   – вы­со­та ко­ну­са, а   – ра­ди­ус ос­но­ва­ния. При уве­ли­че­нии ра­ди­у­са ос­но­ва­ния в 1,5 раза объем ко­ну­са уве­ли­чит­ся в 2,25 раза.

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

27095

2,25

5. За­да­ние 8 № 27120. Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен . Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на :

 

Ответ: 128.

Ответ: 128

27120

128

6. За­да­ние 8 № 27121. Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния равен 90°. Вы­чис­ли­те объем ко­ну­са, де­лен­ный на π.

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r, вы­со­той h и об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са l, углы при об­ра­зу­ю­щей равны, по­это­му вы­со­та ко­ну­са равна ра­ди­у­су его ос­но­ва­ния: h = r. Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

27121

9

7. За­да­ние 8 № 27122. Конус по­лу­ча­ет­ся при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка во­круг ка­те­та, рав­но­го 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник – так же рав­но­бед­рен­ный, т.к. углы при ос­но­ва­нии . Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 6, и объем ко­ну­са, де­лен­ный на :

 

Ответ: 72.

Ответ: 72

27122

72

8. За­да­ние 8 № 27123. Конус опи­сан около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 4 и вы­со­той 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та :   . Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на :

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

27123

16

9. За­да­ние 8 № 27135. Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, об­ра­зу­ю­щая равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна , где – длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а – об­ра­зу­ю­щая. Тогда

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

27135

3

10. За­да­ние 8 № 27136. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если его об­ра­зу­ю­щую уве­ли­чить в 3 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна , где – длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а – об­ра­зу­ю­щая. При уве­ли­че­нии об­ра­зу­ю­щей в 3 раза пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са уве­ли­чит­ся в 3 раза.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

27136

3

11. За­да­ние 8 № 27137. Во сколь­ко раз умень­шит­ся пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если ра­ди­ус его ос­но­ва­ния умень­шит­ся в 1,5 раза, а об­ра­зу­ю­щая оста­нет­ся преж­ней?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна , где — ра­ди­ус окруж­но­сти в ос­но­ва­нии, а — об­ра­зу­ю­щая. По­это­му при умень­ше­нии ра­ди­у­са ос­но­ва­ния в 1,5 раза при не­из­мен­ной ве­ли­чи­не об­ра­зу­ю­щей пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти тоже умень­шит­ся в 1,5 раза.

 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27137

1,5

12. За­да­ние 8 № 27159. Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те пло­щадь его пол­ной по­верх­но­сти, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти скла­ды­ва­ет­ся из пло­ща­ди ос­но­ва­ния и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти:

 

.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом: . Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: 144.

Ответ: 144

27159

144

13. За­да­ние 8 № 27160. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Най­ди­те угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна , а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти . Из усло­вия имеем:

 

 

Зна­чит, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния ко­ну­са, катет, рав­ный ра­ди­у­су, вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы. Тогда он лежит на­про­тив угла 30°. Сле­до­ва­тель­но, угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 60°.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

27160

60

14. За­да­ние 8 № 27161. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 12. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту по­по­лам. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти от­се­чен­но­го ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь от­се­чен­но­го ко­ну­са в 4 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 3.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

27161

3

15. За­да­ние 8 № 27167. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3, вы­со­та равна 4. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Най­дем об­ра­зу­ю­щую по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са

 

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27167

24

16. За­да­ние 8 № 27202. Най­ди­те объем части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 87,75.

Ответ: 87,75

27202

87,75

17. За­да­ние 8 № 27203. Най­ди­те объем части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 243.

Ответ: 243

27203

243

18. За­да­ние 8 № 27204. Най­ди­те объем части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 216.

Ответ: 216

27204

216

19. За­да­ние 8 № 27205. Най­ди­те объем части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 607,5.

Ответ: 607,5

27205

607,5

20. За­да­ние 8 № 245351.

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем шара равен 28. Най­ди­те объем ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем фор­му­лу для объёма шара:

 

.

 

Объём ко­ну­са в 4 раза мень­ше:

 

.

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

245351

7

21. За­да­ние 8 № 284358.

Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а диа­метр ос­но­ва­ния — 6. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

284358

5

22. За­да­ние 8 № 284359. Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, его вы­со­та и об­ра­зу­ю­щая свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем . В нашем слу­чае , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но, диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

284359

6

23. За­да­ние 8 № 284360.

Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

284360

4

24. За­да­ние 8 № 318145. В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 70 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы пол­но­стью на­пол­нить сосуд?

Ре­ше­ние.

Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен 560 мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 560 − 70 = 490 мл жид­ко­сти.

 

Ответ: 490.

Ответ: 490

318145

490

25. За­да­ние 8 № 324453. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π, вы­со­та — 6. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са, а ос­но­ва­ние яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния ко­ну­са. По­это­му пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния вы­со­ты ко­ну­са на диа­метр его ос­но­ва­ния или про­из­ве­де­нию вы­со­ты ко­ну­са на ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. По­сколь­ку по усло­вию ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 4, а тогда ис­ко­мая пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 24.

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

324453

24

26. За­да­ние 8 № 324454. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 18. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит его вы­со­ту на от­рез­ки дли­ной 3 и 6, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са этой плос­ко­стью.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, пред­став­ля­ет собой круг, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са как 3 : 9. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му пло­щадь се­че­ния в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Тем самым, она равна 2.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

324454

2

27. За­да­ние 8 № 324455. Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а длина об­ра­зу­ю­щей — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го — диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, а вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са , его вы­со­та и ра­ди­ус ос­но­ва­ния свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, диа­метр осе­во­го се­че­ния ко­ну­са равен 12, а пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

 

Ответ: 48.

Ответ: 48

324455

48

28. За­да­ние 8 № 324456. Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 12, а длина об­ра­зу­ю­щей — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го — диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, а вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са , его вы­со­та и ра­ди­ус ос­но­ва­ния свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

 

Ответ: 48.

Ответ: 48

324456

48

29. За­да­ние 8 № 324458. Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и рав­ные ра­ди­у­сы ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна от­ку­да, учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: или

 

 

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са , его вы­со­та и ра­ди­ус ос­но­ва­ния свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем от­ку­да, учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: или

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна сле­до­ва­тель­но:

 

 

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

324458

3

30. За­да­ние 8 № 500893. Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­ту умень­шить в 5 раз?

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен , где   − пло­щадь ос­но­ва­ния, а   − вы­со­та ко­ну­са. При умень­ше­нии вы­со­ты в 5 раз объем ко­ну­са также умень­шит­ся в 5 раз.

Ответ: 5.

Ответ: 5

500893

5

31. За­да­ние 8 № 501191. Во сколь­ко раз умень­шит­ся объём ко­ну­са, если его вы­со­ту умень­шить в 8 раз, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­вить преж­ним?

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

,

где   – пло­щадь ос­но­ва­ния, а   – вы­со­та ко­ну­са. При умень­ше­нии вы­со­ты в 8 раза объем ко­ну­са также умень­шит­ся в 8 раза.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

501191

8

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.04.2013 ва­ри­ант МА1601.

32. За­да­ние 8 № 505149. Вы­со­та ко­ну­са равна 12, а диа­метр ос­но­ва­ния равен 10. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

505149

13

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10601.

33. За­да­ние 8 № 505170. Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а диа­метр ос­но­ва­ния равен 6. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

505170

5

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10602.

34. За­да­ние 8 № 509576. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 5 и 12, бо­ко­вое ребро приз­мы равно 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Ре­ше­ние.

С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем ги­по­те­ну­зу ос­но­ва­ния: .

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Ответ: 240

509576

240

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.

35. За­да­ние 8 № 509923. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 9 и 40, бо­ко­вое ребро приз­мы равно 50. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Шар

1. За­да­ние 8 № 27059. Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус боль­шо­го круга яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом шара. Пло­щадь пер­во­го вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус как , а пло­щадь по­верх­но­сти сферы – как . Видно, что пло­щадь по­верх­но­сти шара в раза боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти боль­шо­го круга.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

27059

12

2. За­да­ние 8 № 27072. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти шара, если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара вы­ра­жа­ет­ся через его ра­ди­ус фор­му­лой , по­это­му при уве­ли­че­нии ра­ди­у­са вдвое пло­щадь уве­ли­чит­ся в 2² = 4 раза.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

27072

4

3. За­да­ние 8 № 27097. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в три раза?

Ре­ше­ние.

Объем шара ра­ди­у­са   равен

 

.

При уве­ли­че­нии ра­ди­у­са втрое, объем шара уве­ли­чит­ся в 27 раз.

Ответ: 27.

Ответ: 27

27097

27

4. За­да­ние 8 № 27125. Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ре­ше­ние.

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . По­это­му cумма объёмов трёх шаров равна

 

 

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый ра­ди­ус равен 12.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

27125

12

5. За­да­ние 8 № 27126. В куб с реб­ром 3 впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус впи­сан­но­го в куб шара равен по­ло­ви­не длины ребра: . Тогда объем шара

 

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

27126

4,5

6. За­да­ние 8 № 27127. Около куба с реб­ром  опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диа­го­наль равна d. Ра­ди­ус опи­сан­но­го шара R равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли куба:

 

.

По­это­му объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

27127

4,5

7. За­да­ние 8 № 27162. Объем од­но­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ре­ше­ние.

Объ­е­мы шаров со­от­но­сят­ся как

 

,

От­ку­да Пло­ща­ди их по­верх­но­стей со­от­но­сят­ся как

 

.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27162

9

8. За­да­ние 8 № 27163. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6, 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

Ре­ше­ние.

Из усло­вия най­дем, что ра­ди­ус та­ко­го шара

 

.

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

27163

10

9. За­да­ние 8 № 27174. Объем шара равен 288 . Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Объем шара ра­ди­у­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , от­ку­да

 

.

Пло­щадь его по­верх­но­сти:

.

Ответ: 144.

Ответ: 144

27174

144

10. За­да­ние 8 № 27206. Вер­ши­на куба со сто­ро­ной 1,6 яв­ля­ет­ся цен­тром сферы, про­хо­дя­щей через точку . Най­ди­те пло­щадь части сферы, со­дер­жа­щей­ся внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ну .

Ре­ше­ние.

Так как одна из вер­шин куба яв­ля­ет­ся цен­тром сферы с ра­ди­у­сом, мень­шим либо рав­ным сто­ро­не куба, в кубе со­дер­жит­ся 1/8 сферы и, со­от­вет­ствен­но, 1/8 ее по­верх­но­сти, рав­ная

 

.

Ответ: 1,28.

Ответ: 1,28

27206

1,28

11. За­да­ние 8 № 27207. Се­ре­ди­на ребра куба со сто­ро­ной 1,9 яв­ля­ет­ся цен­тром шара ра­ди­у­са 0,95. Най­ди­те пло­щадь части по­верх­но­сти шара, ле­жа­щей внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те .

Ре­ше­ние.

Так как се­ре­ди­на ребер куба яв­ля­ет­ся цен­тром сферы, диа­метр ко­то­рой равен ребру куба, в кубе со­дер­жит­ся 1/4 сферы и, со­от­вет­ствен­но, 1/4 ее по­верх­но­сти. Имеем:

 

.

Ответ: 0,9025.

Ответ: 0,9025

27207

0,9025

12. За­да­ние 8 № 245352.

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

 

Ре­ше­ние.

 

. .

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

245352

24

13. За­да­ние 8 № 245355. Куб впи­сан в шар ра­ди­у­са . Най­ди­те объем куба.

 

Ре­ше­ние.

Диа­метр шара, опи­сан­но­го во­круг куба, сов­па­да­ет с его диа­го­на­лью и вдвое боль­ше ра­ди­у­са. По­это­му диа­го­наль куба равна . Если ребро куба равно , то диа­го­наль куба да­ет­ся фор­му­лой . Сле­до­ва­тель­но, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

245355

8

14. За­да­ние 8 № 324449. Шар, объём ко­то­ро­го равен 6π, впи­сан в куб. Най­ди­те объём куба.

Ре­ше­ние.

Ребро куба равно двум ра­ди­у­сам впи­сан­но­го в куб шара, по­это­му объем куба, вы­ра­жен­ный через ра­ди­ус впи­сан­но­го в него шара, да­ёт­ся фор­му­лой Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле от­ку­да имеем:

 

Тем самым, объём куба равен 36.

 

Ответ:36.

Ответ: 36

324449

36

15. За­да­ние 8 № 505443. Даны два шара. Диа­метр пер­во­го шара в 8 раз боль­ше диа­мет­ра вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?