Куб 

1. За­да­ние 8 № 27055. Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно , тогда пло­щадь по­верх­но­сти куба , а диа­го­наль куба . Тогда

 

.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27055

3

2. За­да­ние 8 № 27056. Объем куба равен 8. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро как , а объем — как . От­сю­да видно, что пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его объем как . От­сю­да на­хо­дим, что

 

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27056

24

3. За­да­ние 8 № 27061. Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 54. Най­ди­те ребро куба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро как , по­это­му при уве­ли­че­нии длины ребра на пло­щадь уве­ли­чит­ся на

 

От­сю­да на­хо­дим, что ребро куба равно

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27061

4

4. За­да­ние 8 № 27081. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если его ребра уве­ли­чить в три раза?

Ре­ше­ние.

Объем куба с реб­ром равен . Если ребра уве­ли­чить в раза, то объем куба уве­ли­чит­ся в раз.

 

Ответ: 27.

Ответ: 27

27081

27

5. За­да­ние 8 № 27098. Диа­го­наль куба равна . Най­ди­те его объем.

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль куба в раз боль­ше его ребра. По­лу­чим, что ребро равно

 

Тогда объем куба   .

Ответ: 8.

Ответ: 8

27098

8

6. За­да­ние 8 № 27099. Объем куба равен . Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Если ребро куба равно , то его объем и диа­го­наль да­ют­ся фор­му­ла­ми и Сле­до­ва­тель­но,

 

Тогда диа­го­наль равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27099

6

7. За­да­ние 8 № 27102. Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его объем уве­ли­чит­ся на 19. Най­ди­те ребро куба.

Ре­ше­ние.

Объем куба с реб­ром равен . Уве­ли­че­ние объ­е­ма равно 19:

 

Решим урав­не­ние:

 

Тем самым, .

Ответ: 2.

Ответ: 2

27102

2

8. За­да­ние 8 № 27130. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти куба, если его ребро уве­ли­чить в три раза?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му при уве­ли­че­нии ребра в 3 раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 9 раз.

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

27130

9

9. За­да­ние 8 № 27139. Диа­го­наль куба равна 1. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на куба мень­ше диа­го­на­ли в раз и равна в дан­ном слу­чае . Тогда пло­щадь по­верх­но­сти куба

 

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

27139

2

10. За­да­ние 8 № 27141. Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 24. Най­ди­те его объем.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба со сто­ро­ной равна . Объем куба равен

 

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27141

8

11. За­да­ние 8 № 27168. Объем од­но­го куба в 8 раз боль­ше объ­е­ма дру­го­го куба. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го куба боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го куба?

Ре­ше­ние.

Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му один из кубов в 2 раза боль­ше дру­го­го. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му их от­но­ше­ние равно 4.

 

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

27168

4

12. За­да­ние 8 № 500957.

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если все его рёбра уве­ли­чить в 5 раз?

Прямоугольный параллелепипед

1. За­да­ние 8 № 27054. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим : , от­ку­да не­из­вест­ное ребро

 

.

Ответ: 5.

Ответ: 5

27054

5

2. За­да­ние 8 № 27060. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го из той же вер­ши­ны, равна , тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой . По усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти равна 16, тогда от­ку­да

Длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его из­ме­ре­ний, по­это­му .

 

Ответ: 3.

 

При­ме­ча­ние о том, как не надо ре­шать эту за­да­чу.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим :

 

,

от­ку­да не­из­вест­ное ребро

,

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся как

 

.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27060

3

3. За­да­ние 8 № 27067. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны диа­мет­ру сферы, то есть это куб со сто­ро­ной 2. Пло­щадь по­верх­но­сти куба со сто­ро­ной :

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

27067

24

4. За­да­ние 8 № 27076. Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Имеем

 

.

Ответ: 48.

Ответ: 48

27076

48

5. За­да­ние 8 № 27077. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда пло­щадь грани

 

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27077

8

6. За­да­ние 8 № 27078. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где — пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

27078

5

7. За­да­ние 8 № 27079. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен про­из­ве­де­нию его из­ме­ре­ний. По­это­му, если x — ис­ко­мое ребро, то 2   6   x = 48, от­ку­да x = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27079

4

8. За­да­ние 8 № 27080. Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

Ре­ше­ние.

Объем куба равен объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да

 

Зна­чит, ребро куба

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

27080

6

9. За­да­ние 8 № 27100. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

 

.

Длина тре­тье­го ребра тогда . По­лу­чим, что объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 32.

Ответ: 32

27100

32

10. За­да­ние 8 № 27101. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

 

.

От­сю­да най­дем тре­тье ребро:

 

.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

 

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

27101

7

11. За­да­ние 8 № 27103. Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна и об­ра­зу­ет углы 30 , 30 и 45 с плос­ко­стя­ми гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­про­тив угла в равно , по­сколь­ку об­ра­зу­ет с за­дан­ной диа­го­на­лью и диа­го­на­лью одной из гра­ней рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник. Два дру­гие ребра по по­стро­е­нию лежат в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках на­про­тив угла в и равны, по­это­му по­ло­ви­не диа­го­на­ли. Тогда объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

27103

4

12. За­да­ние 8 № 27128. Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна удво­ен­ной сумме по­пар­ных про­из­ве­де­ний его из­ме­ре­ний

 

.

Ответ: 22.

Ответ: 22

27128

22

13. За­да­ние 8 № 27143. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как

 

.

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся как

.

Вы­ра­зим :

.

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: 64.

Ответ: 64

27143

64

14. За­да­ние 8 № 27146. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Най­дем тре­тье ребро из вы­ра­же­ния для объ­е­ма:

 

.

Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да

 

.

Ответ: 22.

Ответ: 22

27146

22

15. За­да­ние 8 № 27191. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 5, 2, 4 и 1, 2, 2:

 

.

Ответ: 36.

Ответ: 36

27191

36

16. За­да­ние 8 № 27209. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 4,5. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мый объем равен раз­но­сти объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­да со сто­ро­на­ми , и и че­ты­рех пи­ра­мид, ос­но­ва­ния ко­то­рых яв­ля­ют­ся гра­ня­ми дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды:

 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27209

1,5

17. За­да­ние 8 № 245335. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что мно­го­гран­ник яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной дан­но­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Сле­до­ва­тель­но, объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка

 

 

 

Ответ: 30.

Ответ: 30

245335

30

18. За­да­ние 8 № 245336. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­та у них общая. По­это­му

 

 

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

245336

8

19. За­да­ние 8 № 245337.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой нужно найти, яв­ля­ет­ся бо­ко­вая грань па­рал­ле­ле­пи­пе­да, а ее вы­со­той яв­ля­ет­ся ребро . По­это­му

 

 

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

245337

16

20. За­да­ние 8 № 245338. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­та у них общая. По­это­му

 

 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

245338

6

21. За­да­ние 8 № 245339. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой нужно найти, яв­ля­ет­ся по­ло­ви­на бо­ко­вой грани па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­той пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да . По­это­му

 

 

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

245339

10

22. За­да­ние 8 № 245361. Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , . Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ни­ке от­ре­зок яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный: , зна­чит, его ост­рые углы равны

Ответ: 45.

Ответ: 45

245361

45

23. За­да­ние 8 № 245363. Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го =4, =3, =5. Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Так как = = то тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, зна­чит, углы при его ос­но­ва­нии равны по .

Ответ: 45.

Ответ: 45

245363

45

24. За­да­ние 8 № 284357.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что , , . Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

Най­дем диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

 

.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

284357

1

25. За­да­ние 8 № 315131. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ребро , ребро , ребро . Точка  — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки и .

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

 

 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

 

 

Ответ:5.

Ответ: 5

315131

5

26. За­да­ние 8 № 316552. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны , и .

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние  −  па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и . По­это­му углы и − пря­мые.По­это­му се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем

 

 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

 

 

Ответ:572.

Ответ: 572

316552

572

27. За­да­ние 8 № 324452. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: AB = 3, AD =  = 5, AA₁ = 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и C₁.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и . По­это­му углы и  — пря­мые. По­это­му се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем

 

 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

 

 

Ответ:39.

Ответ: 39

324452

39

28. За­да­ние 8 № 505383. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро BC = 4, ребро ребро BB₁ = 4. Точка K — се­ре­ди­на ребра CC₁. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки B₁, A₁ и K.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

 

 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

 

 

Ответ:20.

Ответ: 20

505383

20

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10701.

29. За­да­ние 8 № 505404. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро CD = 2, ребро ребро CC₁ = 2. Точка K — се­ре­ди­на ребра DD₁. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки C₁, B₁ и K.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

 

 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

 

 

Ответ:5.

Ответ: 5

505404

5

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10702.

30. За­да­ние 8 № 508229. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ний равны бо­ко­вые рёбра равны 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер AB, и A₁B₁ и точку С.

Призма 

1. За­да­ние 8 № 916. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Тогда длина ребра равна

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

916

3

2. За­да­ние 8 № 917. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Тогда длина ребра равна

 

Ответ: 2.

 

 

 

 

Ответ: 2

917

2

3. За­да­ние 8 № 918. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Тогда длина ребра равна

 

Ответ: 4.

 

Дру­гое ре­ше­ние.

Квад­рат диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен сумме квад­ра­тов трёх его из­ме­ре­ний. По усло­вию даны длины двух из­ме­ре­ний и длина диа­го­на­ли. Оста­лось под­ста­вить в фор­му­лу и со­счи­тать.

Ответ: 4

918

4

4. За­да­ние 8 № 919. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

Тогда длина ребра равна

 

Ответ: 5.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Квад­рат диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен сумме квад­ра­тов его из­ме­ре­ний: 36 = 4 + 7 + x², от­ку­да ис­ко­мая длина ребра x равна 5.

Ответ: 5

919

5

5. За­да­ние 8 № 27047. В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2300   воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 27 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в .

Ре­ше­ние.

Объём де­та­ли равен объ­ёму вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объём вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 2/25 ис­ход­но­го объёма:

 

Ответ: 184.

Ответ: 184

27047

184

6. За­да­ние 8 № 27048. В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 80 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 4 раза боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ее ос­но­ва­ния на вы­со­ту и вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ос­но­ва­ния а и вы­со­ту Н фор­му­лой . По­это­му , а зна­чит, при уве­ли­че­нии сто­ро­ны а в 4 раза зна­ме­на­тель уве­ли­чит­ся в 16 раз, то есть вы­со­та умень­шит­ся в 16 раз и будет равна 5 см.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

27048

5

7. За­да­ние 8 № 27057. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 5, а вы­со­та – 10.

Ре­ше­ние.

пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти фи­гу­ры равна сумме пло­ща­дей всех бо­ко­вых гра­ней

 

.

Ответ: 300.

Ответ: 300

27057

300

8. За­да­ние 8 № 27062. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на ромба вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и фор­му­лой

 

.

Най­дем пло­щадь ромба

 

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 248.

Ответ: 248

27062

248

9. За­да­ние 8 № 27063. Най­ди­те бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы, если сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна 20, а пло­щадь по­верх­но­сти равна 1760.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния и бо­ко­вое ребро как

 

Под­ста­вим зна­че­ния и :

 

,

от­ку­да на­хо­дим, что

Ответ: 12.

Ответ: 12

27063

12

10. За­да­ние 8 № 27082. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, бо­ко­вое ребро равно 5. Най­ди­те объем приз­мы.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мой приз­мы равен где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – бо­ко­вое ребро. Тогда объем равен

 

.

Ответ: 120.

Ответ: 120

27082

120

11. За­да­ние 8 № 27104. Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом 60 . Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в 60 и равно 2. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да , где – пло­щадь одной из гра­ней, а – длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с этой гра­нью угол . Пло­щадь ромба с ост­рым углом в равна двум пло­ща­дям рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Вы­чис­лим объем:

 

.

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27104

1,5

12. За­да­ние 8 № 27106. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­та оста­лась преж­ней, сле­до­ва­тель­но, объем умень­шил­ся в 4 раза.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

27106

8

13. За­да­ние 8 № 27107. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 5. Най­ди­те объем ис­ход­ной приз­мы.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы, ко­то­рый равен 20.

 

Ответ: 20.

Ответ: 20

27107

20

14. За­да­ние 8 № 27112. От тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 6, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну од­но­го ос­но­ва­ния и про­ти­во­по­лож­ную вер­ши­ну дру­го­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем остав­шей­ся части.

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды с такой же пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той в 3 раза. Объем остав­шей­ся части со­став­ля­ет тогда две трети ис­ход­но­го, он равен 4.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

27112

4

15. За­да­ние 8 № 27132. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та приз­мы равна 10. Най­ди­те пло­щадь ее по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии равна 10 и его пло­щадь Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы с пе­ри­мет­ром ос­но­ва­ния равна

 

.

Пол­ная пло­щадь по­верх­но­сти:

 

Ответ: 288.

Ответ: 288

27132

288

16. За­да­ние 8 № 27148. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8. Пло­щадь ее по­верх­но­сти равна 248. Най­ди­те бо­ко­вое ребро этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на ромба вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и как

 

.

Пло­щадь ромба

 

.

Тогда бо­ко­вое ребро най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти:

 

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27148

10

17. За­да­ние 8 № 27151. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Пло­щадь ее по­верх­но­сти равна 288. Най­ди­те вы­со­ту приз­мы.

Ре­ше­ние.

Ги­по­те­ну­за ос­но­ва­ния равна 10. Вы­со­ту най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти :

 

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27151

10

18. За­да­ние 8 № 27153. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту бо­ко­вой грани. Вы­со­та бо­ко­вой грани у ис­ход­ной приз­мы и от­се­чен­ной призм сов­па­да­ет. По­это­му пло­ща­ди бо­ко­вых гра­ней от­но­сят­ся как пе­ри­мет­ры ос­но­ва­ний. Тре­уголь­ни­ки в ос­но­ва­нии ис­ход­ной и от­се­чен­ной призм по­доб­ны, все их сто­ро­ны от­но­сят­ся как 1:2. По­это­му пе­ри­метр ос­но­ва­ния от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше ис­ход­но­го. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы равна 16.

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

27153

16

19. За­да­ние 8 № 27183. Объем куба равен 12. Най­ди­те объем тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от него плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух ребер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны и па­рал­лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку вы­со­та куба равна вы­со­те приз­мы, их объ­е­мы про­пор­ци­о­наль­ны пло­ща­дям их ос­но­ва­ний. Пло­щадь ос­но­ва­ния по­стро­ен­ной приз­мы в 8 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­ной, по­это­му ис­ко­мый объем приз­мы равен 12 : 8 = 1,5.

 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27183

1,5

Источник: Проб­ный эк­за­мен по математике. Санкт-Петербург 2013. Ва­ри­ант 1.

20. За­да­ние 8 № 245340. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 2, а бо­ко­вое ребро равно 3.

 

Ре­ше­ние.

Тре­бу­ет­ся найти объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той дан­ной тре­уголь­ной приз­мы. По­это­му

 

 

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

245340

2

21. За­да­ние 8 № 245341. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 2.

 

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мый объём мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объёмов приз­мы и пи­ра­ми­ды , ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют. По­это­му

 

 

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

245341

4

22. За­да­ние 8 № 245342. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что ис­ко­мый объём равен раз­но­сти объ­е­ма приз­мы и двух тре­уголь­ных пи­ра­мид, ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той приз­мы:

 

 

По­это­му

 

 

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

245342

4

23. За­да­ние 8 № 245343. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

 

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды такое же, как ос­но­ва­ние пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, и вы­со­та у них общая. По­это­му

 

 

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

245343

4

24. За­да­ние 8 № 245344.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ре­ше­ние.

Мно­го­гран­ник, объем ко­то­ро­го тре­бу­ет­ся найти, яв­ля­ет­ся пря­мой тре­уголь­ной приз­мой. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии равна пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна одной ше­стой пло­ща­ди ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы. Вы­со­той пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся бо­ко­вое ребро, его длина равна 3. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый объем равен

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

245344

3

25. За­да­ние 8 № 245345. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна двум тре­тьим пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

245345

8

26. За­да­ние 8 № 245346. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

245346

6

27. За­да­ние 8 № 245347. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна одной ше­стой пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

245347

1

28. За­да­ние 8 № 245356. Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 6. Какой будет пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы, если все ее ребра уве­ли­чить в три раза?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му если все ребра уве­ли­чить в три раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 9 раз. Сле­до­ва­тель­но, она ста­нет равна 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54

245356

54

29. За­да­ние 8 № 245359. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA₁=3.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник в ко­то­ром яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

В пря­мо­уголь­ни­ке   – диа­го­наль, = . Зна­чит,

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

245359

50

30. За­да­ние 8 № 245360. Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми А и D пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA = 3.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ник в ко­то­ром яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью, = По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Зна­чит, AD = 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

245360

5

31. За­да­ние 8 № 245362. Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го =5, =4, =4. Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

грань яв­ля­ет­ся квад­ра­том со сто­ро­ной 4, а – диа­го­наль этой грани, зна­чит, угол равен

Ответ: 45.

Ответ: 45

245362

45

32. За­да­ние 8 № 245365. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми и .

Ре­ше­ние.

Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му

.

Ответ: 2.

 

Ответ: 2

245365

2

33. За­да­ние 8 № 245368. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те угол Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке углы между сто­ро­на­ми равны зна­чит,

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

245368

60

34. За­да­ние 8 № 284363. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что , , Най­ди­те длину диа­го­на­ли

Ре­ше­ние.

Най­дем диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

.

Ответ: 3.

Ответ: 3

284363

3

35. За­да­ние 8 № 315130. В кубе точка  — се­ре­ди­на ребра , точка  — се­ре­ди­на ребра , точка  — се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­ны се­че­ния KM, KL, и LM равны как ги­по­те­ну­зы рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AKM, KLA, и LAM, ко­то­рые равны друг другу по двум ка­те­там. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник LKM яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним. По­это­му угол MLK равен 60°.

Ответ:60.

Ответ: 60

315130

60

36. За­да­ние 8 № 316553. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме , все ребра ко­то­рой равны 8, най­ди­те угол между пря­мы­ми и . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

От­рез­ки D₁E₁, DE и AB лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми FA и E₁D₁ равен углу между пря­мы­ми FA и AB.

 

По­сколь­ку угол FAB между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°, смеж­ный с ним угол между пря­мы­ми FA и AB равен 60°.

 

Ответ:60.

Ответ: 60

316553

60

37. За­да­ние 8 № 316554. В кубе най­ди­те угол между пря­мы­ми и . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку — куб, каж­дая из его гра­ней яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Диа­го­на­ли этих квад­ра­тов равны, по­это­му

 

Тогда тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен 60°.

 

Ответ:60.

Ответ: 60

316554

60

38. За­да­ние 8 № 316558. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме , все ребра ко­то­рой равны 3, най­ди­те угол между пря­мы­ми и . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

От­рез­ки A₁A и BB₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁A и BC₁ равен углу между пря­мы­ми BB₁ и BC₁.

Бо­ко­вая грань CBB₁C₁ — квад­рат, по­это­му угол между его сто­ро­ной и диа­го­на­лью равен 45°.

 

Ответ: 45.

Ответ: 45

316558

45

39. За­да­ние 8 № 318474. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер , , . Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми и .

Ре­ше­ние.

От­рез­ки DC и D₁C₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁C₁ и DC равен углу между пря­мы­ми A₁C₁ и D₁C₁.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A₁C₁D₁ по по­лу­ча­ем:

 

 

Тогда для угла A₁C₁D₁ имеем:

 

 

 

Ответ:0,6.

Ответ: 0,6

318474

0,6

40. За­да­ние 8 № 318475. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме из­вест­но, что . Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми и . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным па­рал­ле­ле­пи­пе­дом, диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны, диа­го­наль­ное се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

 

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник A₁BC: в нем катет BC вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы A₁C, по­это­му угол A₁CB равен 60°. Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке D₁CB угол D₁BC равен 60°.

 

Сумма углов тре­уголь­ни­ка BGC равна 180° по­лу­ча­ем, по­сколь­ку углы два его угла равны 60°, тре­тий угол тоже равен 60°.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

318475

60

41. За­да­ние 8 № 324451. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ний равны 2, бо­ко­вые рёбра равны 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер AB, AC, A₁B₁ и A₁C₁.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны се­че­ния яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но сред­ни­ми тре­уголь­ни­ков, ле­жа­щих в ос­но­ва­нии, и пря­мо­уголь­ни­ков, яв­ля­ю­щих­ся бо­ко­вы­ми гра­ня­ми приз­мы. Тем самым, се­че­ние пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1 и 5, пло­щадь ко­то­ро­го равна 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

324451

5

42. За­да­ние 8 № 324457. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно 15, а диа­го­наль BD₁ равна 17. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, A₁ и C.

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль­ное се­че­ние пря­мой приз­мы — пря­мо­уголь­ник Диа­го­на­ли пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­мы равны: По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем: Тем самым, для ис­ко­мой пло­ща­ди се­че­ния имеем

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

324457

120

43. За­да­ние 8 № 501705.

Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 9, а бо­ко­вое ребро равно 8.

Ре­ше­ние.

Тре­бу­ет­ся найти объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той дан­ной тре­уголь­ной приз­мы. По­это­му

 

 

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

501705

24

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.

44. За­да­ние 8 № 501747.

Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ре­ше­ние.

Мно­го­гран­ник, объём ко­то­ро­го не­об­хо­ди­мо найти, яв­ля­ет­ся тре­уголь­ной пи­ра­ми­дой. Из ри­сун­ка видно, что его объём равен объёму тре­уголь­ной приз­мы, умень­шен­но­му на сумму объёмов двух тре­уголь­ных пи­ра­мид: и По­сколь­ку приз­ма пра­виль­ная, объёмы этих пи­ра­мид равны. Объём пи­ра­ми­ды равен одной тре­тьей от про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, сле­до­ва­тель­но, для объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка имеем:

 

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

501747

2

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 402.

45. За­да­ние 8 № 509039. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ний равны бо­ко­вые рёбра равны 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер AB, и A₁B₁ и точку С.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник пра­виль­ный, сле­до­ва­тель­но, ме­ди­а­на яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём

 

 

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния — это пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка найдём её:

 

Ответ: 15.

Ответ: 15

509039

15

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 1.

46. За­да­ние 8 № 27083. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 5. Объем приз­мы равен 30. Най­ди­те ее бо­ко­вое ребро.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мой приз­мы равен где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – бо­ко­вое ребро. Тогда длина ее бо­ко­во­го ребра равна

 

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27083

4

47. За­да­ние 8 № 27084. Най­ди­те объем пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны .

Ре­ше­ние.

Объем пря­мой приз­мы равен , где — пло­щадь ос­но­ва­ния, а — бо­ко­вое ребро. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной , ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии, за­да­ет­ся фор­му­лой

 

Тогда объем приз­мы равен

 

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

27084

4,5

48. За­да­ние 8 № 245357.

Най­ди­те объем пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, все ребра ко­то­рой равны .

 

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Вы­со­той пра­виль­ной приз­мы яв­ля­ет­ся ее бо­ко­вое ребро. Ос­но­ва­ние приз­мы — пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Сле­до­ва­тель­но,

 

 

 

Ответ: 13,5.

Ответ: 13,5

245357

13,5

49. За­да­ние 8 № 245364. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми и .

Ре­ше­ние.

рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Зна­чит,

Ответ: 2.

Ответ: 2

245364

2

50. За­да­ние 8 № 245366. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми и

Ре­ше­ние.

рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

— боль­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, ее длина равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му . По­сколь­ку имеем:

Ответ: 5.

 

Ответ: 5

245366

5

51. За­да­ние 8 № 245367. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник катет ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся боль­шей диа­го­на­лью ос­но­ва­ния. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не: . По­сколь­ку имеем:

Ответ: 2.

Ответ: 2

245367

2

52. За­да­ние 8 № 245369. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник :

 

Оста­лось найти диа­го­наль ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке углы между сто­ро­на­ми равны , тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка АВС имеем:

Так как — ост­рый, он равен

Ответ: 60.

Ответ: 60

245369

60

53. За­да­ние 8 № 27150. В тре­уголь­ной приз­ме две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Их общее ребро равно 10 и от­сто­ит от дру­гих бо­ко­вых ребер на 6 и 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Для вы­чис­ле­ния бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой , где – длина бо­ко­во­го ребра, а – пе­ри­метр пер­пен­ди­ку­ляр­но­го се­че­ния приз­мы:

 

.

Ответ: 240.

Ответ: 240

27150

240

54. За­да­ние 8 № 27068. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­то­рой равна 24, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше со­от­вет­ству­ю­щих пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней ис­ход­ной приз­мы. По­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

27068

12

55. За­да­ние 8 № 27108. Най­ди­те объем приз­мы, в ос­но­ва­ни­ях ко­то­рой лежат пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки со сто­ро­на­ми 2, а бо­ко­вые ребра равны и на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30 .

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с ос­но­ва­ни­ем угол . Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной равна

 

Тогда объем приз­мы

 

.

 

Ответ: 18.

Ответ: 18

27108

18

56. За­да­ние 8 № 27064. Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­то­ро­го равны 1. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та приз­мы равна вы­со­те ци­лин­дра, а сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна диа­мет­ру ци­лин­дра. Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

 

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27064

8

57. За­да­ние 8 № 27065. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус впи­сан­ной в него окруж­но­сти как . Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

27065

36

58. За­да­ние 8 № 27170. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, впи­сан­ной в ци­линдр, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти как . Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы тогда равна

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

27170

36

59. За­да­ние 8 № 27066. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2.