§2. Алгебра событий

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, пусть при бросании игральной кости (т.е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие есть выпадение одного очка, а событие В есть выпадение одного, а одного очка, а событие В есть выпадение нечетного числа очков. Очевидно, эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга (так называемые элементарные события или элементарные исходы). Тогда:

1. Каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

2. Всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество (совокупность) конечного или бесконечного числа элементарных событий;

3. Событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Пример 1. Пусть событие состоит в выпадении нечетного числа очков при однократном бросании игральной кости.

За элементарные события здесь могут быть приняты следующие результаты испытания: . Событие представляет собой множество событий

По аналогии с теорией множеств (см. §1) строится алгебра событий.

Определение 1. Под суммой двух событий А и B понимается событие

которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий и

В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 2. Пусть событие есть выигрыш по займу , а событие – выигрыш по займу . Тогда событие есть выигрыш хотя бы по одному займу (возможно, по двум сразу!).

Определение 2. Произведением двух событий А и B называется событие

,

состоящее в одновременном появлении как события , так и события .

В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий.

Пример3. Пусть события и есть успешные прохождения соответственно туров и при поступлении в институт. Тогда событие представляет собой успешное прохождение обоих туров.

Событие и называется несовместными, в данном испытании, если произведение их есть событие невозможное, т.е.

где -невозможное событие.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого и наоборот.

§ 3. Классическое определение вероятности

Пусть событие - некоторый исход испытания и

- конечная система всех возможных и единственно возможных попарно несовместных элементарных исходов этого испытания (полная система элементарных событий). Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда имеют место некоторые события из системы (1) (благоприятные или благоприятствующие исходы или так называемые шансы для события ).

Предположим, что события системы равновозможны, т.е. нет основания, предполагать, что одно из событий системы превалирует, в смысле появления перед другими. Иногда это можно установить, используя «свойство симметрии».

Определение 1. Под вероятностью события понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию , к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если m-число элементарных исходов, благоприятных событию А, и n – общее число всех элементарных исходов при данном испытании, и все эти исходы равновозможны, то на основании определения имеем формулу.

Так, как очевидно, , то

т.е. вероятность любого события есть неотрицательные число, не превышающее единицы.

Замечание. Из определения вероятности следует, что равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Из определения вероятности вытекают следующие основные её свойства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительность, если событие невозможно, то число благоприятных ему благоприятных ему элементарных исходов и мы имеем

2.Вероятность достоверного события равна единице.

В самом деле, если событие достоверное, то, очевидно, и следовательно,

Приведем некоторые элементарные теоремы о вероятностях.

Определение 2. Два события и называются эквивалентными:

если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое.

С точки зрения теории вероятностей такие события считаются равными.

Например, если в урне содержатся только белые и черные шары, то появление черного шара и появление небелого шара есть события эквивалентные.

ТЕОРЕМА1. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то

Действительно, каждый элементарный исход для события является таковым же для события и обратно. В силу формулы (2) справедливо равенство (4).

Определение 3. Говорят, что из события следует событие , если событие появляется всякий раз, как только произошло событие .

Например, для любых событий А и B имеем и .

ТЕОРЕМА 2. Если , то

. (5)

В самом деле, пусть события и включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причем и - число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий и , а n – число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события не является также элементарным исходом для события , то и, следовательно,

таким образом, неравенство (5) доказано.

Определение 4 . Событие А, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, называется противоположным последнему.

Например, если при бросании монеты событие есть выпадение герба, то событие представляет собой невыпадение герба, т.е. выпадение решетки.

Из определения 4 следует, что: 1) событие достоверно; 2) событие невозможно.

ТЕОРЕМА 3. Вероятность противоположного события равна дополнению вероятности данного события А до 1, т.е.

Действительно, пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит событий, из которых благоприятны событию . Тогда элементарных исходов неблагоприятны событию , т.е. благоприятствуют событию . Таким образом, имеем

Приведем ряд примеров на непосредственное вычисление вероятностей событий.

Пример 1. Монета бросается два раза. Какова вероятность : 1) выпадения герба хотя бы один раз (событие ; 2) двукратного выпадения герба (событие )?

Равнозначными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР; число их

Событию благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число которых Следовательно

Событию B благоприятствует один исход ГГ Поэтому