§25. Системы случайных величин

Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной X, а несколькими случайными величинами: . В этом случае принято говорить, что указанные случайные величины образуют систему Систему двух случайных величин можно изобразить случайной точкой на плоскости.

33. Событие, состоящее в попадании случайной точки в область , принято обозначать в виде

34. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин может быть задан с помощью таблицы

			• • •
			• • •
			• • •
• • •	• • •	• • •	• • •	• • •
			• • •

где , вероятность события, заклю­чающегося в одновременном выполнении равенств , При этом Таблица может содержать бесконечное множество строк и столбцов.

Закон распределения системы непрерывных случайных величин задавать с помощью функции плотности вероятности

Вероятность попадания случайной точки в область определяется равенством

Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами:

Если все случайные точки принадлежат конечной области D, то последнее условие принимает вид

Математические ожидания дискретных случайных величин X и Y, вхо­дящих в систему, определяются по формулам

а математические ожидания непрерывных случайных величин — по формулам

Точка (m_х; m_y) называется центром рассеивания системы случайных величин

Математические ожидания т_х и т_у можно найти и проще, если случай­ные величины X и Y независимы. В этом случае из законов распределения этих случайных величин можно определить математические ожидания т_х и т_у по формуле, приведенной в § 6 этой главы.

Дисперсии дискретных случайных величин X и Y определяются по формулам

Дисперсии же непрерывных случайных величин X и Y, входящих в систему, находятся по формулам

Средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y определя­ются по формулам

, .

Для вычисления дисперсий могут быть применены формулы

Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемый корреляционный момент (ковариация)

для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле,

а для непрерывных по формуле

Корреляционный момент можно также найти по формуле

Здесь

для дискретных случайных величин X и Y и

для непрерывных величин.

Случайные величины называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина. В этом случае

Для характеристики связи между величинами X и Y рассматривается так называемый коэффициент корреляции

,

являющийся безразмерной величиной.

Если случайные величины X и Y независимы, то . Если же слу­чайные величины X и Y связаны точной линейной зависимостью , то , т. е. при и при

Вообще же коэффициент корреляции удовлетворяет условию

1. В двух ящиках находятся по шесть шаров, в 1-м ящика: 1 шар с № 2, 1 шар с № 2, 3 шара с №3, во 2 ящике: 2 шара с №1, 3 шара с №2, 1 шар с №3. Пусть номер шара, вынутого из первого ящика, Y- номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу закона распределения системы случайных величин

∆ Случайная точка (1; 1) имеет кратность

» » (1;2) »

» » (1;3) »

» » (2;1) »

» » (2;2) »

» » (2;3) »

» » (3;1) »

» » (3;2) »

» » (3;3) »

Всего случайных точек ( кратную точку принимаем за n точек). Так как отношение кратности точка ко всему количеству точек равно вероятности появления этой точка, то таблица закона распределения системы случайных величин имеем вид

X Y		1	2	3
1				1/36
2
3

Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице ▲

2. Найти математические ожидания случайных величин по условию предыдущей задачи.

Имеем

+

Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы .Так как случайные величины и независимы, то математические ожидания и можно подсчитать проще, используя ряды распределения:

	1	2	3		1	2	3
	1/6	1/3	1/2		1/3	½	1/6

Отсюда находим

3. Дана таблица, определяющая закон распределения двумерной случайной величины :

X Y	2	3	4
1	0.12	0.18	0.1
5	0.10	0.11	0.39

Найти: математические ожидания и , дисперсии составляющих (компонент).

Решение:

2) Введем центрированные величины: = ; =

			0.73
	0.12	0.18	0.10
1.60	0.10	0.11	0.39

35. 4. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент .

Коэффициент определяем из уравнения

где D — круг, ограниченный окружностью . Перейдя к полярным координатам, получаем

36. · т.е. .

5. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

Область D—квадрат, ограниченный прямыми Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) вычислить вероятность попадания случайной точки в квадрат Q, ограниченный прямыми ; 3) найти математические ожидания т_х и т_у 4) найти средние квадратичные отклонение .

1) Коэффициент находим из уравнения откуда

2)

3) Находим математическое ожидание и ; имеем

Следовательно, и

4)Находим средние квадратичные отклонения :

Итак,

6. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти двумерную плотность вероятности системы.

Решение. Используем формулу . Найдем частные производные:

Итак, искомая двумерная плотность вероятности

7. Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин

Y X	20	40	60
10	Зλ	λ	0
20	2λ	4λ	2λ
30	Λ	2λ	5λ

Найти: 1) коэффициент λ; 2) математическое ожидание 3) дисперсии и 4) коэффициент корреляции .

8. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

Область D—треугольник, ограниченный прямыми , , . Найти: 1) коэффициент ; 2) математические ожидания ;3) дисперсии 4) коэффициент корреляции г_ху.