§23. Мода и медиана

Модой дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины X называется то ее значение, при котором плотность распределения максимальна.

Моду будем обозначать символом .

Медианой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение х, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т. е.

Геометрически мода является абсциссой той точки кривой (полигона) распределения, ордината которой максимальна. Ордината же, проведенная в точке с абсциссой , делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Если прямая является осью симметрии кривой распределения а (рис. 43).

Рисунок 43

19. 1. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины . Найти моду этой случайной величины.

Найдем максимум функции . Для этого находим производные первого и второго порядков:

.

Из уравнения получаем . Так как , то при функция имеет максимум, т. е. . Мы не определяли значения постоянной величины a, так как максимум функции не зависит от числового значения .

2. Дана плотность вероятности случайной величины

Найти медиану этой случайной величины.

Медиану , найдем из условия Р (X < μ) = 0,5. В данном случае

Таким образом, приходим к уравнению , или , откуда . Из четырех корней этого уравнения нужно выбрать тот, который заключен между и Таким образом,

3. Случайная величина задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти : а) моду ; б) медиану Х.

Решение. а) Легко убедиться, что функция в открытом интервале не имеет максимума, поэтому Х моду не имеет.б) Найдем медиану , исходя из определений медианы: , или , что то же, .

Учитывая, что по условию возможные значения Х положительны, перепишем это равенство так:

Отсюда . Следовательно, искомая медиана

4. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины:

Определить значение , моду и медиану.

§24, Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности

Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит показательный (экспоненциальный) закон, функция плотности распределения которого имеет вид

где постоянный параметр.

Функция распределения (интегральная функция) показательного закона

,

т. е.

Вероятность попадания случайной величины X в интервал ]а, Р[ составляет

,

т. е.

Определим числовые характеристики показательного закона распределения: математическое ожидание

Дисперсия

Среднее квадратичное отклонение

Если непрерывная случайная величина, выражающая продолжитель­ность времени безотказной работы какого-либо элемента, а интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени), то продолжительность времени t безотказной работы этого элемента можно считать случайной величиной, распределенной по показательному закону с функцией распределения ), которая определяет вероятность отказа элемента за время t.

Функция надежности определяет вероятность безотказной работы элемента за время t:

21. 1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

22. Решение. Подставив λ = 5 в соотношение f(x) =

и в F(x) = , получим

;

23. 2. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону:

f(x) =

Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет в интервал

Используя формулу , имеем

(для вычисления значений функции мы воспользовались табл. II нас. 410).

3. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности при ; при . Найти вероятность того, что в результате испытания попадает в интервал .

Решение. Используем формулу

значений функции , получим

24. 4. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону . Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение ч.

Используя функцию надежности , получим

25. 5. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону при и при . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

26. 6. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с функцией плотности

27. 

Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет в интервал

28. 7. Найти математическое ожидание случайной величины , распределенной по показательному закону, если функция распределения имеет вид

29. 

30. 8. Время t расформирования состава через горку—случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть — среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования состава составит более 0,3 ч.

31. 9. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за ч элемент: 1) откажет; 2) не откажет.

32. 10. Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону . Найти вероятность того, что телевизор проработает ч.