§ 22. Нормальное распределение

Распределение вероятностей случайной величины X называ­ется нормальным, если плотность вероятности подчиняется закону Гаусса

(1)

где — некоторые постоянные, причем В этом случае график плотности вероятности представляет со­бой смещенную кривую Гаусса (рис. 273), симметричную отно­сительно прямой и c максимальной ординатой .

Для удобства выкладок эту кривую центрируем, введя новые координаты и

(2)

и будет представлять собой дифференциальный закон рас­пределения случайной вели­чины .

Постоянные в формуле (2) не являются произвольными, так как для плотности вероятностей должно быть выполне­но условие

Делая замену переменной , , , будем иметь

(см. гл. XXIV, § 4). Отсюда на основании формулы (3) находим

1 (5)

т. е.

(6)

Таким образом.

(7)

Для математического ожидания случайной величины будем иметь

(ввиду нечетности подынтегральной функции). Отсюда

Таким образом, при нормальном распределении случайной величины X ее математическое ожидание совпадает с точкой пересечения оси симметрии графика соответствующей кривой Гаусса с осью Ох (центр рассеивания).

Для дисперсии случайной величины X получаем

Полагая и и интегрируя по частям, с учетом формулы (4) будем иметь

Таким образом, из формулы (9) получаем

и, следовательно,

Отсюда для среднего квадратичного отклонения величины X получим

Введя обозначение , будем иметь

Подставляя эти значения в формулу (1), получим стандартный вид нормального закона распределения случайной величины в дифференциальной форме:

где и .

Таким образом, нормальный закон распределения зависит только от двух параметров: математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

Нормальный закон распределения случайной величины в ин­тегральной форме имеет вид

Формулы (11) и (12) упрощаются, если ввести нормированное отклонение

тогда

(см. § 12). Полагая в интеграле (12) , получаем

где определяется формулой (13) и —стандартный интеграл вероятностей (см. § 13).

Отсюда получаем, что для случайной величины X, подчи­няющейся нормальному закону, вероятность попадания ее на отрезок есть

В частности, вероятность того, что отклонение величины X от ее математического ожидания х₀ по абсолютной величине будет меньше α, равна

Полагая , получаем

,

т. е. такое отклонение является почти достоверным (правило трех сигм).

Нормальный закон распределения вероятностей находит многочисленные применения в теории ошибок, теории стрельбы, физике и т. д.

Упражнения

1. 1. Пусть — случайное событие, достоверное событие. Что сле­дует понимать под событиями ?

2. 2. Игральная кость бросается один раз. Каковы вероятности следую­щих событий: выпадение одного очка; выпадение нечетного числа очков; выпадение не менее трех очков?

3. 3. В урне находятся белых шара и черных шаров. Сколько белых шаров следует добавить в урну, чтобы вероятность извлечения из нее одного белого шара была не меньше ?

4. 4. Из урны, содержащей белых шаров и черных шара, случайным образом извлекается шара. Каковы вероятности того, что: а) среди них будет одинаковое число белых и черных; б) число белых превысит число черных?

5. 5. Студент из экзаменационных билетов усвоил . Какова веро­ятность (в процентах) его успешного ответа на экзамене на билет: а) при однократном извлечении билета; б) при двукратном извлечении билета (вы­тянутый билет не возвращается!)?

7. 6. Три стрелка одновременно стреляют в цель. Вероятность пораже­ния цели первым стрелком равна 0,9; вторым — 0,8; третьим — 0,6.

8. Какова вероятность того, что: а) цель будет поражена хотя бы одним стрелком; б) будет зарегистрировано не менее двух попаданий в цель; в) ни один из стрелков не попадет в цель?

9. 7. Доказать, что если события А и В независимы, то события и также независимы.

10. 8. Вероятность поражения цели при одиночном выстреле равна . Найти распределение вероятностей для числа попаданий при числе выстрелов .

11. 9. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна При каком числе выстрелов цель будет поражена хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей ?

12. 10. Многократные измерения некоторой величины дали следующие значения (содержащие случайные ошибки): (два раза); (пять раз); (три раза). Предполагая, что эти изменения равноточны, найти математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию результата измерения. Чему равна средняя квадратичная ошибка результата измерения?

13. 11. Дискретные случайные величины и независимы. Доказать, что величины = и ( постоянная величина) также независимы.

14. 12. Все значения случайной величины X принадлежат интервалу , причем плотность вероятности при и при Найти функцию распределения , математическое ожидание и дисперсию .

15. 13. Случайная величина равномерно распределена на центриро­ванном отрезке Найти плотность вероятности математическое ожидание , дисперсию и стандарт

16. 14. Показать, что кривая Гаусса имеет точки перегиба при .

17. 15. При опытной стрельбе было обнаружено, что отклонение точки попадания от цели подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Какова вероятность того, что ?

18. 16. При расфасовке некоторой продукции пакет считается стандарт­ным, если его масса отличается от заданной массы кг не более чем на (в ту или другую сторону). Проверено, что при аккуратной работе ошибки массы подчиняются нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением г. Некоторая партия этой продукции из пакетов содержит стандартных пакетов. Соответствует ли это данному нормальному закону?