§ 20. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Будем рассматривать бесконечно малый промежуток как «жирную точку» х оси Ох. Тогда вероятность того, что случайная величина X принимает значение, совпадающее с этой «жирной точкой» , равна и математическое ожидание этого события есть

Представляя прямую - < х < + как бесконечное множество таких «жирных точек», по аналогии с определением мате­матического ожидания дискретной случайной величины, получаем естественное определение математического ожидания непрерывной случайной величины (только здесь суммирование за­меняется интегрированием).

Опрелеление. Под математическим ожиданием непрерывной случайной величины X понимается число

(конечно, это определение имеет смысл лишь для таких слу­чайных величин X, для которых интеграл (1) сходится).

Для дисперсии непрерывной случайной величины X сохра­ним прежнее определение

Из формулы (1) вытекает

(конечно, в предположении, что интеграл (2) сходится). Можно также пользоваться формулой

Можно доказать, что основные свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохра­няются также и для непрерывных случайных величин.

Пусть теперь все возможные значения непрерывной случайной величины X целиком заполняют конечный отрезок .

Тогда при и при и, следовательно,

Аналогично,

, причем .

§ 21. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X, все возможные значения которой заполняют конечный промежуток (а, b), называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности φ(x) постоянна на этом промежутке.

Иными словами, для равномерно распределенной случайной величины все ее возможные значения являются равновозможными.

Пусть, например, . Так как в этом случае

при и при , то

отсюда

Пусть (рис. 272). Тогда

,

т. е.

где L — длина (линейная мера) всего отрезка [а, b] и l — длина частичного отрезка [α, β].

Рисунок 272

Значения случайной величины , т. е. точки х отрезка , можно рассматривать как всевозможные элементарные исходы некоторого испытания. Пусть событие состоит в том, что ре­зультат испытания принадлежит отрезку [α, β] [а, b]. Тогда точки отрезка есть благоприятные элементарные ис­ходы события .

Согласно формуле (1) имеем геометрическое определение вероятности: под вероятностью события понимается от­ношение меры l множества элементарных исходов, благопри­ятствующих событию , к мере множества всех возможных элементарных исходов в предположении, что они равновоз­можны:

Это определение естественно переносит классическое опреде­ление вероятности на случай бесконечного числа элементарных исходов.

Аналогичное определение можно ввести также тогда, когда элементарные исходы испытания представляют собой точки плоскости или пространства.

Пример 1. Цена деления шкалы амперметра равна . Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая .

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х , которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения , где – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х; вне этого интервала . В рассматриваемой задаче длина интервала , в котором заключены возможные значения равно , поэтому Легко сообразить, что ошибки отсчета превысит если она будет заключена в интервале .

По формуле

получим