§19. Непрерывные случайные величины. Функция распределения.

Случайную величину будем называть непрерывной, если все ее возможные значения целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Предполагается, что при каждом испытании случайная величина принимает одно и только одно значение . Заметим, что дискретные и непрерывные случайные величины не исчерпывают все типы случайных величин.

Для характеристики непрерывной случайной величины X вводят функцию распределения

(1)

называемую интегральным законом распределения.

Если значения случайной величины X рассматривать как точки числовой оси Ох, то Ф(х) представляет собой вероятность события, состоящего в том, что наблюдаемое значение случайной величины X принадлежит интервалу т. е. находится левее точки х. Этот интервал зависит от правого конца его х, и поэтому естественно вероятность является функцией от x, определенной на всей оси

Заметим, что функция распределения имеет смысл также для дискретных случайных величин.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

I. Функция есть неубывающая функция аргумента т. е. если то .

Действительно, если , то из события , очевидно, следует событие . Но тогда вероятность второго события не меньше вероятности первого (§ 3, теорема 2).

II. Так как — вероятность, то справедливо неравенство

III.

Действительно, событие X ( ), очевидно, невозмож­но, а событие , достоверно.

Зная функцию распределения можно для любого про­межутка определить ) — вероятность попада­ния случайной величины X в этот промежуток (здесь принято левый конец а промежутка включать, а правый b не включать в этот промежуток).

В самом деле, пусть есть событие , событие и — событие .

Тогда, очевидно, имеем

Так как события несовместны, то по теореме сложения вероятностей получаем , отсюда

т. е.

(2)

причем в силу свойства I.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее промежутку , равна приращению ее функции распределения на этом промежутке.

В дальнейшем случайную величину будем называть непрерывной лишь в том случае, когда ее функция распределения непрерывна на оси

ТЕОРЕМА. Вероятность (до опыта) того, что непрерывная случайная величина X примет заранее указанное строго определенное значение а, равна нулю.

В самом деле, в силу формулы (2) имеем

(3)

Положим, что ; тогда в пределе промежуток будет содержать единственную точку а. Кроме того, в силу непрерыв­ности функции Ф(х) в точке а имеем

Переходя к пределу при х а в равенстве (3), получим

Таким образом, при непрерывной функции распределения вероятность «попадания в точку» равна нулю.

Следствие. Для непрерывной случайной величины X справед­ливы равенства

(2')

и

(2")

где — ее функция распределения.

Действительно,

Аналогично доказывается второе равенство.

Замечание. В общем случае невозможные события и события с ну­левой вероятностью могут оказаться неэквивалентными.

Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины X ее функция распределения Ф(х) имеет непрерывную про­изводную

(4)

Функцию называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальным законом распределения случайной величины .

Термин плотность вероятности имеет следующий смысл. Пусть — бесконечно малый промежуток. Тогда в силу формулы (2') имеем

Заменяя бесконечно малое приращение функции ее дифференциалом , получаем приближенное равенство

(5)

Таким образом, плотность вероятности представляет собой отноше­ние вероятности попадания точки в бесконечно малый промежуток к длине этого промежутка.

Так как плотность вероятности является производной неубывающей функции , то она неотрицательна: . В отличие от вероятности, плотность вероятности может прини­мать сколь угодно большие значения.

Так как Ф(х) является первообразной для φ(x), то на основа­нии формулы Ньютона—Лейбница имеем

Отсюда в силу (3') получаем

(6)

Геометрически (рис. 271) эта веро­ятность представляет собой площадь S кри­волинейной трапе­ции, ограниченной графиком плотности вероятности

у = осью и двумя орди­натами

Рисунок 271

Полагая получаем достоверное событие вероятность которого равна единице. Следова­тельно,

(7)

Полагая в формуле (6) и обозначая для ясности переменную интегрирования х другой буквой, например t (это законно для определенного интеграла), получаем функцию рас­пределения

(8)