§18. Дисперсия

Пусть случайная величина, – ее математическое ожидание (среднее значение). Случайную величину называют отклонением.

ТЕОРЕМА 1. Для любой случайной величины X математи­ческое ожидание ее отклонения равно нулю, т. е.

Доказательство. Действительно, учитывая, что по­стоянная величина, имеем

Определение. Дисперсией (рассеянием) случайной ве­личины называют математическое ожидание квадрата от­клонения этой величины от ее математического ожидания.

Отсюда, обозначая дисперсию буквой , для случайной ве­личины будем иметь

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т. е. является числовой характеристикой этой величины.

Если случайная величина имеет закон распределения , то, обозначая для краткости , из формулы будем иметь

(2)

Корень квадратный из дисперсии D(X) называется средним квадратичным отклонением а (иначе — стандартом) этой величины:

(X)= (3)

Пример. Пусть закон распределения случайной величины задан таб­лицей:

X	4	10	20
Р	1/4	1/2	1/4

Определить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратичное отклонение .

Имеем

отсюда

и

(X) 5,75.

Дисперсия служит мерой рассеяния (разброса) значений дискретной случайной величины . Действительно, пусть мала. Тогда из формулы получаем, что все слагаемые также малы. Отсюда следует, что если не обращать внимания на значения, имеющие малую вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значения х_i мало отклоняются от μ. Та­ким образом, при малой дисперсии D(X) почти достоверно, что значения случайной величины концентрируются около ее математиче­ского ожидания (за исключением, быть может, сравнительно малого числа отдельных значений). В частности, если D(X) = 0, то, очевидно, X = μ и случайная величина представляет собой точку на числовой оси. Если D(X) велика, то концентрация значений случайной величины X около какого-нибудь центра исключается.

ТЕОРЕМА 2. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания, т. е.

.(4)

Доказательство. Используя основные теоремы о математиче­ских ожиданиях случайных величин, имеем

ТЕОРЕМА 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, если С — постоянная величина, то М(С) = С и, следовательно,

.

Результат этот очевиден, так как постоянная величина изо­бражается одной точкой на числовой оси Ох и не имеет рассеяния.

ТЕОРЕМА 4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т. е.

(5)

Доказательство. Так как

,(6)

то имеем

²} =

²} =

^{2 2}

где

— так называемый корреляционный момент величин и . Если случайные величины и независимы, то случайные величины , отличающиеся от и на постоянные величины, очевидно, также независимы. Поэтому в силу теорем 3 из 17 и 1 имеем

и, следовательно, справедлива формула (5).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно незави­симых случайных величин равна сумме дисперсий этих ве­личин.

Следствие 2. Если С — постоянная величина, то

Таким образом, случайные величины и имеют оди­наковую меру рассеяния.

ТЕОРЕМА 5. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т. е.

²

Доказательство. Если постоянный множитель, то в силу теоремы 2 имеем

^{2 2}) ^{2 2} ( ²) - ²[ ² - ² ).

Таким образом, рассеяние величины в ² раз больше рас­сеяния величины X.

Следствие. Дисперсия разности двух независимых случай­ных величин равна сумме дисперсий этих величин, т. е. если случайные величины X и Y независимы, то

Действительно, на основании теорем 4 и 5 имеем

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

Задача. Определить математическое ожидание и дисперсию для числа появления события при независимых испыта­ниях, в каждом из которых вероятность события посто­янна.

Случайная величина X принимает значения и распределена по биномиальному закону

, (7)

где

Величину можно рассматривать как сумму независимых случайных величин

где — число появлений события в м испы­тании. Случайная величина , принимает лишь два значения: 1, если событие A появилось в i-м испытании, и 0, если событие А не произошло в м испытании. Вероятности этих значений и . Отсюда

_i)

(см. также § 16). Отсюда, используя теорему о математическом ожидании суммы, будем иметь

(8)

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в условиях схемы Бернулли совпадает со «средним числом» появления этого события в данной серии испытаний. Для дисперсии случайной величины _i получаем

^{2 2 2}

Отсюда по свойству дисперсии суммы независимых случай­ных величин (теорема 4) будем иметь

_{i 2 n} (9)

Поэтому среднее квадратичное отклонение (стандарт)

σ = = . (10)

Формулы (8) и (9) дают математическое ожидание и дисперсию для биномиального закона распределения.

Замечание. Теперь становится попятным смысл случайной величины

в приближенных формулах Лапласа (§ 12—13), а именно, t представляет собой отклонение числа появлений события от его математического ожидания, измеренное в стандартах (так называемое нормированное отклонение).

Рассмотрим дискретных попарно независимых случайных величин

, дисперсии которых равномерно ограничены:

Эти величины, возможно, имеют значительный разброс, од­нако их среднее арифметическое

_n =

ведет себя достаточно «кучно».

А именно, при указанных выше условиях имеет место заме­чательная теорема:

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА. Для любого положительного ε > 0 ве­роятность неравенства

сколь угодно близка к 1, если число случайных величин п достаточно велико, т.е.

(закон больших чисел в форме Чебышева).

Теорема Чебышева находит применение в теории ошибок, статистике и т. п.