Контрольні питання

1. Суть чисельного інтегрування.

2. В чому різниця між методами прямокутників, трапецій та Сімпсона?

3. Як впливає на точність інтегрування величина кроку?

4. Як оцінити погрішність за правилом Рунге?

Варіанти завдань

Непарні номери обчислюють інтеграл методами прямокутників і парабол, а парні – трапецій і парабол. Точність обчислень 0,001.

№	f(x)	a	b
1		1	3
2		0	2
3		1	2
4		2	4
5		0	4
6		1	4
7		0	1
8		0
9		0
10		0
11
12		0
13		0

Продовження таблиці

14		0
15		–1	1
16
17		–1	3
18		0	4
19			0
20		0
21		5	6,5
22		0
23
24
25		3	4

Лабораторна робота № 8. Розв’язання диференційних рівнянь. Задача Коші Теоретичні відомості

Постановка задачі Коші: знайти розв’язок y(x) звичайного диференційного рівняння першого порядку:

, (8.1)

що задовольняє початковій умові:

. (8.2)

Чисельний розв’язок на відрізку [а, b] задачі Коші полягає в побудові таблиці наближених значень y₀, y₁, ..., y_i, ... y_N розв’язку у вузлах сітки

a=x₀ < x₁ < ... < x_i < ...< x_n=b.

Метод Ейлера. Розрахункова формула метода:

, де . (8.3)

Приклад 8.1. Розв’язати задачу Коші методом Ейлера.

, .

, , , .

x₀=0.785, y₀=1.

i=1 x₁= ,

i=2 x₂= ,

i=3 x₃= ,

i=4 x₄=1.257+0.157=1.414 ,

i=5 x₅=1.414+0.157=1.571 .

В MathCad диференційні рівняння можна розв’язати за допомогою функцій:

– odesolve(x,b,n) – повертає функцію, яка є розв’язком звичайного диференційного рівняння та задовольняє початковим або граничним умовам:

x – ім’я змінної інтегрування;

b – кінцева точка інтервалу інтегрування (початкова точка задається в початкових умовах);

n – необов’язковий параметр, який визначає кількість точок, де обчислюється розв’язок.

Примітка:

1. Функція odesolve використовується разом з ключовим словом Given.

2. У функції обов’язково вказувати аргумент, тобто y(x), а не y.

3. При введенні рівнянь використовується знак логічної рівності (комбінація клавіш Ctrl та =).

4. Диференційне рівняння необхідно записувати у вигляді, коли воно розв’язане відносно старшої похідної.

5. Символ похідної вводиться або з панелі Calculus (кнопка ) або комбінацією клавіш [Ctrl][F7].

– rkfixed(y0,a,b,N,D) – повертає матрицю розв’язків ОДУ методом Рунге-Кута. Перший стовпець матриці містить точки, в яких обчислюється розв’язок (тобто значення змінної х), другий – значення невідомої функції y(x).

y0 – вектор початкових умов;

D – вектор, що містить праві частини ОДУ;

N – кількість кроків;

a, b – границі інтегрування.