Свойства определённого интеграла

1. Если функция непрерывна на промежутке , тогда интегрируема на этом промежутке.

2. Если функция непрерывна на промежутке , за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, тогда интегрируема на этом промежутке.

3. Линейность определённого интеграла. Для любых постоянных

справедливо равенство = .

4. Аддитивность. Если тогда .

5. . 6). Если на промежутке , тогда (функциональные неравенства можно интегрировать).

Формула Ньютона–Лейбница. Если функция непрерывна на промежутке , тогда у этой функции на промежутке существует первообразная и выполняется равенство

Методы интегрирования

1. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Пусть функции – непрерывно дифференцируемые функции на промежутке , тогда справедливо равенство

. (12)

Равенство (12) называют формулой интегрирования по частям. Рассмотрим некоторые примеры вычисления определённых интегралов при помощи этой формулы. Основные типы интегралов, которые вычисляются только с помощью интегрирования по частям, уже были рассмотрены в примерах к предыдущему заданию. В этом пункте рассмотрим дополнительно ещё несколько интегралов такого вида.

Пример. Вычислим . Применив формулу (11), получим = = – = – = (применим ещё раз формулу (11)) = = –

– = – – .

Следовательно, получили уравнение относительно исходного интеграла – , из которого находим, что или = = .

Пример. Вычислим с помощью формулы интегрирования по частям (применим ещё раз формулу интегрирования по частям) =

= = =

2. Замена переменной в определённом интеграле. Пусть функция непрерывна на промежутке , непрерывно дифференцируема на промежутке и Тогда справедливо равенство

. (13)

Пример. Вычислим интеграл с помощью формулы (13). Сделаем в этом интеграле замену переменной , тогда , . Продифференцировав последнее равенство, получим или . Пределы интегрирования по новой переменной находим из формулы замены , подставляя сначала нижний предел интегрирования , а затем верхний предел интегрирования . После этой замены получаем = = = = = = .

Задание 8. Несобственные интегралы

1. Несобственный интеграл первого рода.

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом конечном промежутке , .

Определение. Несобственным интегралом от функции по промежутку называют и обозначают . Если указанный выше предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится и справедливо равенство = . Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, тогда говорят, что несобственный интеграл расходится.

Если непрерывна на промежутке , тогда у неё существует первообразная а этом промежутке и из определения несобственного интеграла вытекает практический способ вычисления этого интеграла = = = = , где подстановка на означает что необходимо вычислить . Из сказанного выше следует, что в несобственном интеграле первого рода можно делать замену переменной и интегрировать по частям также, как и в определённом интеграле.

Пример. Вычислим . Произведём в данном интеграле замену переменной . Тогда , , а = = = (интегрируем по частям ) =

= = =

+ = . Так как = = 0.

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен .

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл от функции по промежутку , а именно .

Пример. Вычислим . Интегрируя по частям , получим = = = = Так как , . Следовательно, рассматриваемый интеграл сходится и равен –1.

Если функция определена на промежутке и интегрируема на любом конечном промежутке , тогда несобственный интеграл .

Пример. Вычислим . Выделив полный квадрат, полу-

чим , а интеграл = = = = – .