Производные более высокого порядка

Определение. Производной второго порядка функции в точке называют число = , если этот предел существует.

Из определения следует, что вторая производная функции является производной от первой производной, то есть = . Аналогично, третья производная является производной от второй производной и т. д.

Пример. Вычислим вторую производную функции = . Пер-

вая производная = = = . Вторая производная = + = + = = .

Дифференцирование функции, заданной неявно.

Принято говорить, что равенство

= 0 (8)

задаёт как функцию , то есть . Для того, чтобы вычислить производную = необходимо продифференцировать равенство (8) по переменной , считая функцией .

Пример. Вычислим , если задана следующим уравнением

. (9)

Дифференцируя равенство (9) по и, используя правило дифференцирования сложной функции, получим, .

Выразив из последнего равенства через и , получим = . Чтобы вычислить вторую производную, дифференцируем последнее равенство по , и получаем

= .

Можно выразить только через и , заменив её выражением через и .

Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Говорят что равенства

= , = , где , (10)

задают как функцию параметрически. Если параметр есть время, тогда говорят, что равенства (10) задают закон движения материальной точки на плоскости (так как эти равенства позволяют в каждый момент времени определять координаты точки).

Для вычисления первой и второй производных = , = используем тот факт, что дифференциал функции равен .

Следовательно, производная равна частному дифференциалов = = . Аналогично, получим формулу для вычисления второй производной функции по переменной , а именно: = = = = = = = .

Окончательные выражения для , примут вид: = = , = = = .

Пример. Пусть функция определена равенствами = . Тогда из выведенных формул получим = = = = = , а производная = = = = = .

Дифференциал и его свойства

Из определения производной функции в точке следует, что = или = 0. Обозначим , где при . Из последнего равенства находим, что = = + . Обозначив , из последнего равенства окончательно получим = , где при . При фиксированном выражение является линейной функцией одной переменной и называется дифференциалом функции , соответствующим приращению аргумента . Дифференциал обозначают или кратко .

Следовательно, по определению, = . Так как , то дифференциал принято записывать в инвариантной форме = .

Пример. Вычислим дифференциал функции при =1, = 0,1. По определению дифференциала = = = . В точке =1 получаем , а для = 0,1 будет = (3,5)(0,1) = 0,35.

Перечислим основные свойства дифференциала.

1. , где C – произвольная постоянная.

2. .

3.

4. .

5. Инвариантность формы дифференциала. Если является независимой переменной, тогда = . Если же зависимая переменная, то есть , тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, (так как = ). Следовательно, форма дифференциала не зависит от того, является ли независимой или зависимой переменной.