§2. Об аналитических преобразованиях

и об их реализации с помощью ЭВМ

1. Стимулы к развитию систем аналитических вычислений

На первом этапе после появления компьютеров основным являлся “численный счёт”. Большой класс физических явлений характеризуется так называемыми полями (скалярными или векторными). Эти понятия определяются как соответствия, в которых точке плоскости или трёхмерного пространства сопоставляются скалярные или векторные величины; иначе говоря, речь идёт о скалярных или векторных функциях, заданных в области плоскости или пространства.

Обычно эти функции неизвестны, их следует определить из того или иного дифференциального уравнения, часто – из уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Количество таких задач огромно, ибо большинство физических характеристик (температура, влажность, электрическая и магнитная напряжённости и др.) представляют собой поля и рассматриваются в различных обстоятельствах (в различных газах, на поверхностях тел различной формы и различного материала и т.п.). Для решения таких задач разработаны методы, позволяющие определить численные значения упомянутых полей на достаточно густой сетке точек с той или иной точностью. Густота сетки существенна для детального описания явления. Методы эти приводят к большому (иногда – к огромному) количеству арифметических действий. Счёт обычно идёт в системе с плавающей точкой, что влечёт за собой погрешности на каждом шаге вычислений (называемые ошибками округления). Это приводит к накоплению ошибок, которые могут стать причиной неустойчивости счёта вплоть до остановки процесса вычислений из-за выхода за пределы разрядной сетки ЭВМ. Накопление ошибок приводит к потере точности так что результат вычислений может оказаться неприемлемым.

Кроме того, сама идеология ограничивает исследователя при получении результата: вместо поля, интересующего исследователя, получаются лишь значения его в отдельных точках. Поэтому широко разрабатываются методы, позволяющие получать упомянутые поля в виде формулы, представляющей собой некоторое аналитическое выражение. Конечно и в этом случае получается обычно лишь некоторое приближение к искомому полю. Для уточнения аналитического приближения формулы приходится усложнять специально разработанными итерационными процессами, использующими данное дифференциальное уравнение. Разработка аналитических методов – основной стимул для развития систем аналитических вычислений (САВ), позволяющих привлечь компьютер к рутинной

работе по выводу подобных формул.

Второй стимул к развитию САВ связан с упомянутыми выше методами численного счёта. Изощрённые численные методы решения сложных задач математической физики требуют предварительного вывода формул для рассматриваемой задачи и программирования этих формул (обычно на одном из языков высокого уровня). И то и другое характеризуется применением определённых правил; алгоритмы для вывода упомянутых формул и написания программ можно считать известными. Тем самым открывается возможность использовать ЭВМ и для этой цели.

2. О некоторых выдающихся аналитических вычислениях в прошлом веке

Знаменитые великие вычисления XIX века содержат большое количество манипуляций с формулами. Одним из наиболее известных является расчёт Лаверье орбиты Нептуна, который был основан на аналитических вычислениях возмущённой орбиты Урана и который собственно привёл к открытию Нептуна “на кончике пера”. Вторым впечатляющим вычислением с карандашом и бумагой является вывод 40000 аналитических формул, которые были выполнены французским астрономом Делоне для вычисления орбиты Луны и которые потребовали 10 лет работы для получения этих формул и ещё 10 лет для их проверки. Окончательный результат представляет собой формулу, занимающую 128 страниц его книги.

Проверка этих аналитических выкладок проведена двумя американскими математиками с использованием ЭВМ в 70-х годах этого столетия; она потребовала около двух суток вычислений, причём в результате проверки была обнаружена всего лишь одна (!) ошибка (заметим, что подготовка соответствующих программ отняла около года).