21. Определение напряжений в грунте от действия одной или нескольких вертикальных сосредоточенных сил (Задача Буссинеска)?

Составим расчётную схему данной задачи, представив грунтовое основание, как упругое полупространство.

Графическое представление условий (расчётная схема) задачи для определения напряжений в массиве грунта от сосредоточенной силы.

По условиям задачи необходимо определить значения вертикальных напряжений σz и касательных напряжений τzx; τzy в точке М, расположенной на площадке, параллельной плоскости, ограничивающей массив от действия сосредоточенной силы Р.

Решим эту задачу в три этапа:

Определим σR – в радиальном направлении перпендикулярно R (в т. М)

Определим σR' – в радиальном направлении (приложенном к площадке, параллельной плоскости ограничивающей массив).

Определим σz;τzx;τzy.

1 этап решения задачи:

Допустим, что под действием силы Р точка М переместилась в точку М1. Обозначим S – перемещение точки М. Тогда можно записать:

Мы получили перемещение точки М (см. выше приведённый рисунок).

В представленной зависимости осадка точки будет прямо пропорционально завесить от косинуса угла β и обратно пропорционально радиусу расположения точки, где А – коэффициент пропорциональности.

Определим относительное перемещение точки:

Согласно первому постулату теории упругости между напряжениями и деформациями должна быть прямая зависимость, следовательно:

Радиальное напряжение в точке М.

В этой формуле В – коэффициент пропорциональности. Для определения σR необходимо определить произведение коэффициентов АВ.

σR – определяется по методу, используемому в сопромате («метод сечений»: мысленно разрезают балку, одну часть отбрасывают и оставшуюся часть уравновешивают).

Расчётная схема для определения радиальных напряжений в грунте.

Для решения данной задачи поступим аналогичным образом. Рассматрим полушаровое сечение радиусом R и заменим отброшенное пространство напряжениями σR. Рассмотрим изменение β в пределах dβ. Составим уравнение равновесия на ось Z:

Величина радиального напряжения в грунте зависит от координат точки и величины прикладываемой силы.

2 этап решения задачи:

Схема пересчёта радиальных напряжений к вертикальным.

Из геометрических соотношений можно записать:

Мы получили величину радиальных напряжений, приложенных к площадке параллельно плоскости, ограничивающей массив.

3 этап решения задачи:

, подставим и получим

Введём обозначение:

Упрощая выше полученное выражение, вводим значение коэффициента К. Тогда получим:

Результат окончательного решения нашей задачи.

 – определяется по таблице.

22. Определение напряжений от равномерно распределённой нагрузки, действующей по площади?

В случае действия распределенной нагрузки напряжение в массиве можно определить по формулам для нахождения напряжения при действии сосредоточенной силы, используя принцип суперпозиции (независимость действия сил)

Область загружения делится на ряд элементов, распределенная нагрузка на которых заменяется равнодействующей в центрах их тяжести.

σ_z=(3/2)*π* (F₁Z₁³/R₁⁵ + F₂Z₂³/R₂⁵ +…+ F_nZ_n³/R_n⁵)

или

σ_z=∑(F_iK_i/Z²)

Решение для определения σ_z под центром площади выглядит как:

σ_z=P*f*(z/(0.5b); a/b), где

b- ширина подошвы, a-длинна подошвы фундамента, z – глубина на которой определяется напряжение, P- среднее давление под подошвой.

Значение f приводится в СНиП 2.02.01-83*, в виде таблиц. В них по двум параметрам:

1) ξ=2z/b;

2) η=a/b.