Занятие 4-5 Интеграл и его применение.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F(x)=f(x).
Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом:
при этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.
Символ
обозначает,
таким образом, совокупность всех
первообразных для функции f(x).
Таблица неопределённых интегралов некоторых функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные свойства неопределённого интеграла.
|
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. |
|
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. |
|
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной. |
|
Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если k=const0. |
|
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно. |
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование |
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов. |
Метод подстановки (метод замены переменной) |
Введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т. е. перейти к непосредственному интегрированию:
|
Метод интегрирования по частям |
Основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:
|
или
Основные свойства определённого интеграла.
Если а=b,
то
|
Если а>b,
то
|
|
Каковы бы ни были числа а, b и с, всегда имеет место это равенство |
|
Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла. |
|
Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов. |
Если всюду на
отрезке [а,
b]
функция f(x)0,
то
|
Если всюду на
отрезке [а,
b]
функция f(x)g(x),
то
|
Формула Ньютона Лейбница.
Замена переменной в определённом интеграле:
|
Интегрирование по частям в определённом интеграле:
|
Связь между дифференцированием и интегрированием:
Простейшая функция
|
Дифференциал
|
Интеграл
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
